Астрофизический портал | |
|
ВУЗ. Вращающий момент стержня (14.03.2010)
daranton - 14 марта, 2010 - 14:23
Стержень массой 6 кг и длиной 40 см вращается вокруг оси, проходящей через его середину, перпендикулярно длине стержня. Угол поворота стержня изменяется во времени по закону ? = 3t3 − t2 + 4t + 6. Вращающий момент, действующий на стержень через 2 с после начала вращения?
Задания на контрольные работы № 1 "Физические основы механики" и № 2 "Молекулярная физика. Основы термодинамики", 1 курс, вариант № 1. Северо-Западный государственный заочный технический университет, Санкт-Петербург, 2006 год.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
M = Iα,
где I — момент инерции стержня; α — угловое ускорение, которое можно найти, дважды продифференцировав Φ (t).
1) Момент инерции стержня J определяется по формуле:
J = ml2 / 12 = 6 × 0.42 / 12 = 0.08 кг • м2.
2) Угловая скорость вращения стержня w определяется как первая производная от угла поворота по времени:
w = d?/dt = d (3t3 − t2 + 4t + 6) / dt = 9t2 − 2t + 4.
3) Повторным дифференцированием находим угловое ускорение:
Ε = dw/dt = d (9t2 − 2t + 4) / dt = 18t − 2.
4) Через 2 с после начала вращения угловое ускорение будет равно:
Ε2 = 18 × 2 − 2 = 34 рад/с2.
5) А вращающий момент, действующий на стержень, равен:
M = JΕ2 = 34 × 0.08 = 2.72 Н • м.
Запишем короткое условие задачи:
m = 6 кг,
х = 40 см = 0,4 м,
t = 2 c,
fi = 3t3 + t2 + 4t + 6.
-----------------------------
М - ?
Решение.
В соответствии с основным законом динамики вращательного движения, момент сил, действующих на тело (он же — вращающий момент), можно записать как произведение момента инерции этого тела на его угловое ускорение:
M = Je.
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину, находится по формуле:
J = mx2 / 12,
где m — масса, а х — длина стержня.
Угловое ускорение, по определению, является первой производной от угловой скорости:
e = dw / dt.
Угловую же скорость можно найти как первую производную от угла поворота по времени:
w = d(fi) / dt = d / dt [ 3t3 + t2 + 4t + 6 ] = 9t2 + 2t + 4, (1 / с).
Тогда e = d / dt [ 9t2 + 2t + 4 ] = 18t + 2 = 2( 9t + 1 ), (1 / с.кв.).
Окончательно, при подстановке выражений для момента инерции и углового ускорения в первую формулу, получим:
M = (mx2 / 12) × 2 (9t + 1) = (9t + 1) mx2 / 6.
Проверим соответствие единиц измерения:
[ M ] = кг • м.кв. / с.кв. = (кг • м / с.кв.) • м = Н • м.
Подставим заданные значения времени, массы и длины стержня:
М = (9 × 2 + 1) × 6 × (0,42) / 6 = 0,16 × 19 = 3,04 Н • м.
Так ли?
Соответственно, эта ошибка перекочевала в угловое ускорение. В итоге — лажа. Одна задача, два одинаковых решения, и два разных ответа.