Какой объем воды следует налить в сосуд? (6 июня 2010)

Решение.

Когда шар не оказывает давление на дно сосуда, выполняется следующее равенство:

P = P_o − F_А,

где P — сила давления; P_o — вес шара в воздухе; F_А — выталкивающая сила.

Отсюда следует:

P_o = F_А.     (1)

Но

P₀ = (4/3) ρg?r³,     (1.1)

где ? — число "пи".

F_А = ?_ogV,     (1.2)

где V — объём погружённой в жидкость части шара.

С учётом этого равенство (1) примет вид:

(4/3) ρg?r³ = ρ_ogV,

откуда:

V = 4??r³ / (3?_o).     (2)

Обозначим объём жидкости, который нужно налить в цилиндр для выполнения оговоренных в задаче условий, через ΔV, а высоту столба жидкости, установившегося после добавления данного объема в цилиндр с шаром внутри, через h. Тогда

?V = V_h — V,

где V_h — объём части цилиндра, заключённой между основанием и уровнем воды h:

V_h = Sh = ?R²h.

С учётом этого и (2) получим:

?V = ?R²h — 4??r³ / (3?_o).     (3)

Введём систему координат как показано на рисунке.

Объём погружённой части шара V можно выразить так:

V = ^y? _{− r} sdy = ^y? _{− r} ? (r² − y²) dy

(запись ^y? _{− r} означает определённый интеграл на отрезке [−r; y])

V = ? (r²y − y³/3) ^y| _{− r} = ? (r²−y³/3 + (2/3) r³),

где

y = −r + h.     (4)

Имеем систему:

{ V = 4??r³ / (3?_o),

{ V = ? (r² − y³/3 + (2/3) r³),

отсюда:

−(1/3) y³ + r²y + (2/3) r³ − 4?r³/(3?_o) = 0.

Пусть a = −1/3; b = r²; c = (2/3) r³ − 4?r³ / (3?_o). Тогда:

ay³ + by + c = 0.

Приведём это уравнение к виду:

y³ + py + q = 0.

Для этого поделим обе части уравнения на a. Получим:

y³ + (b/a) y + c/a = 0,

При этом:

b/a = p = −3r²;

c/a = q = 2r³ (2?/?_o − 1).

Воспользуемся формулой Кардано:

y = ³ √(−q/2 + ?(q²/4 + p³/27)) + ³?(−q/2 − ?(q²/4 + p³/27)).

После подстановки сюда значений коэффициентов p и q и некоторых математических преобразований найдём:

y = r (³?(1 − 2 ?/?₀ + 2?(?/?_o (?/?_o − 1))) + ³?(2?/?_o − 1 + 2?(?/?_o (?/?_o − 1))) ).     (6)

Из (4) следует, что:

h = r + y.

Теперь равенство (3) примет вид:

?V = ?R² (r + y) − 4??r³/(3?⁰).

С учётом (6) получим окончательную формулу:

?V = ?R²r (1 + ³?(1 − 2 ?/?_o + 2?(?/?_o (?/?_o − 1))) + ³?(2 ?/?_o − 1 + 2?(?/?_o (?/?_o − 1))) ) − 4??r³/(3?_o),

причём r ? R по условию; ? ? ?_o из интуитивных соображений.

При ? = (1/2) ?_o получим y = 0, тогда:

?V = ?R²r − (2/3) ?r³.

После подстановки сюда значений R = 10 см и r=5 см найдём ?V = 1309 см³.