Астрофизический портал | |
|
Максимальная скорость для спутника Земли (22 января 2010)
godzaimas - 22 января, 2010 - 20:42
Вокруг земли крутится спутник на высоте 4R (R — радиус Земли). В определенный момент он получает дополнительную скорость в направлении движения (по касательной). Какова максимальная скорость, которую можно добавить что бы спутник остался в притяжении Земли? Второй вопрос тот же, но скорость добавляют перпендикулярно движению спутника и в направлении от Земли.
Учебник на иврите для подготовки к аттестату зрелости за 12 класс.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
Кстати, дано только M и R Земли.
vI = √(GMз / (R + 4R)).
Спутник преодолеет притяжение Земли, если его скорость будет равна II космической (траектория движения — парабола):
vII = √(2GMз / (R + 4R)).
Поэтому для первого случая:
vI + vдоп = vII,
vдоп = (√2 − 1) √ (GMз / (5R)).
Во втором случае скорости сложатся по правилу параллелограмма:
v = √(vI2 + vдоп2).
Приравниваем новую скорость ко II космической:
√(vI2 + vдоп2) = √(2GMз / (R + 4R)),
vI2 + vдоп2 = 2GMз / (5R),
GMз / (5R) + vдоп2 = 2GMз / (5R),
vдоп = √(GMз / (5R)).
Начальная энергия:
mV12 / 2 − GmM / r.
После дополнительного импульса только кинетическая, т.к. Земля уже не действует:
mV22 / 2.
Сравниваем их и находим, что V2 = 0.
То есть он не двигается? Где ошибка?
N.B. Закон сохранения энергии как раз позволяет найти значение II космической скорости:
mv2 / 2 − GmM / r = 0 + 0,
причём первый ноль в правой части из-за того, что r = ∞, а второй — так как кинетическая энергия на границе сферы гравитационного влияния должна быть равна нулю (условие минимальности II космической скорости).