Какое время тело находилось в полете? (2 декабря 2009)

sleepstream - 2 декабря, 2009 - 10:41
Тело бросают с начальной скоростью ?o под углом ? к горизонту навстречу ветру, дующему вдоль поверхности земли. Со стороны воздуха на тело действует сила сопротивления F, которая определяется соотношением F = −k?oтн, где ?oтн — скорость тела относительно воздуха, k — коэффициент пропорциональности, значение которого не известно. Описав некоторую траекторию, тело падает в исходной точке, причем его скорость перед самым падением равна ?1. Какое время t тело находилось в полете?

Задача взята из варианта олимпиады памяти профессора И. В. Савельева за 2005 год.

Теги:

Комментарии

Опубликовано 3 декабря, 2009 - 12:19 пользователем sleepstream
До конца не решал. Сейчас мало времени. Вот начало решения. Составим дифференциальные уравнения:

m • dVx / dt = −k (Vx + Vв).

m • dVy / dt = −(mg + kVy).

Решение:

Vx = −Vв + (Vo cos α + Vв) e−kt/m.

Vy = −gm/k + (Vo sin α + gm/k) e−kt/m.

x(t) = −Vвt − (m/k) (Vo сos α + Vв) (e−kt/m − 1).

y(t) = −gmt/k − (m/k) (Vo sin α + gm / k) (e−kt/m − 1) .

Приравнивая x(t), y(t) к 0 и Vx2 + Vy2 = V12, получим 3 уравнения для 3 неизвестных (k, m, t).