| Астрофизический портал | |
|
Через какое время шайба остановится? (5 июля 2009)
das - 5 июля, 2009 - 22:51
На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска [т.е. между ними трения нет] массы M, а на доске — шайба массы m. Коэффициент трения между доской и шайбой μ. Шайбу привели в движение со скоростью Vo. Через какое время t она остановится?
Задача с ЕГЭ (какого года? - прим. админ.)
P.S. желательно не искать решение этой задачи в Интернете.
Комментарии
Зная начальную, конечную скорости и ускорение gμ, можно найти время.
Я предложил решение в 2 этапа. На мой взгляд, более кратко решить не получится.
mV2/2 + μmgS = (m + M) U2/2.
Итого 3 этапа. ИМХО, это сложнее, чем два.
Хоть одно решение. Спасибо.
1.1) 2-ой закон Ньютона: maтр = μmg.
1.2) З.С.И.: mVo = (m + M) U.
1.3) μgt = Vo − U.
t = (1/μg) • (MVo / (m + M)).
Я предлагаю так:
2.1) З.С.Э.: mV2/2 − ?mgS = (m + M) U2/2.
2.2) S = Vot − (μg + U/t) t2/2 (тут использовался результат 1.1).
Применяем еще 1.2 и находим t.
Для новичков, которые сюда придут, излагаю подробно и называю обозначения.
Горизонтальную гладкую поверхность для краткости назову столом. Дано, что vo — скорость шайбы относительно стола до соприкосновения с бруском. Введу обозначения скоростей сразу после соприкосновения шайбы с бруском:
v1 — скорость шайбы относительно бруска;
u — скорость системы брусок-шайба относительно стола.
Тогда v1 = vo − u.
По закону сохранения импульса mvo = (m + M) u; отсюда:
u = vom / (m + M);
v1 = vo − vom / (m + M) = voM / (m + M).
Далее рассматриваю движение шайбы только относительно бруска. Начальная скорость движения v1 уже найдена, сила трения — постоянна, поэтому движение будет равнозамедленным, время до остановки t = v1 / |a|, где |a| — модуль отрицательного ускорения; по второму закону Ньютона |a| = μg (g — ускорение свободного падения).
Получаем:
t = voM / ((m + M) μg).
Это и есть ответ.
У Вас абсолютно то же решение, das.
Только, если не трудно, дайте полное решение своим методом. Было бы интересно сравнить.
T2 − T1 = AFтр.
AFтр = −mgSμ, где S — перемещение шайбы по доске относительно ее же.
2.2), т.к. движение равнозамедленное, то можно записать: S = Vot − at2/2 (a > 0).
Но т.к. мы перешли в неИ. С. О. доски, то:
a = μg + U/t
(здесь a = aотн = aабс − aпер;
aабс = −μg;
aпер = (U − 0) / t).
ускорение бруска a1 = −gμ,
ускорение доски a2 = gμm / M.
Когда брусок остановится, сокрости доски и бруска сравняются, тогда:
скорость бруска u1 = a1t = gμt.
скорость доски u2 = V0 + a2t = V0 − gμtm/M.
Vo − gμtm/M = gμt.
Решаем уравнение, находим t.
U1 = Vo + a1t.
U2 = a2t.
Между прочим, если за систему отсчёта взять движущуюся относительно бруска шайбу, то первоначально написанные Вами уравнения тоже верные. Поправка das несущественна.
Переносные системы инерциальны, ускорения при этом не меняются, а скорости переносных систем равны в одном случае начальной скорости шайбы (у inkermana), в другом случае — абсолютной начальной скорости бруска (у Вас).
Я давеча не написала про скорости систем, что они связаны с начальными скоростями шайбы (или бруска). Пропустила слово "начальными".
1. Задача с ЕГЭ? Какого года, номер варианта, номер задачи. Хочется прочитать оригинал.
2. Интересно, длина доски не играет никакой роли? А если шайба свалится с доски прежде, чем остановится на ней, или доска бесконечная, или она никогда не свалится?
Но пусть лучше пояснит inkerman, это его идея — он нашёл это красивое решение.
Замечание В. Грабцевича правомерно. В ответе надо написать, при каких размерах бруска шайба не свалится. Это совсем не трудно.
t = vM / ((m + M) ?g).
2. Если же шайба выскочит с доски, то она будет двигаться дальше (идеальные условия бесконечности гладкого стола) и t стремится к бесконечности.
Покопавшись в своей базе задач, нашел одну:
(МГУ, 1997). На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы M. На конец доски кладут шайбу массы m, которой ударом сообщают скорость v вдоль доски к ее противоположному концу. Коэффициент трения шайбы о доску равен μ. На какое расстояние от исходного положения переместится по доске шайба, если известно, что шайба не соскальзывает с доски?
= vM2 / (2μg(m + M)2).
Решение вытекает из предыдущей задачи, vo заменено на v.
Надо: s = v2 × M2 / (2μg (m + M)2).
У меня не получается степени писать по Вашим правилам.
S = Mv2 / (2μg (m + M)).
Страницы