 | В неоднородной вязкой среде (см. рис.) сила сопротивления, действующая на тело массой m, пропорциональна квадрату скорости, причём коэффициент пропорциональности α зависит от координаты тела x в направлении движения (то есть выражение для силы сопротивления имеет вид f = −α(x)v). Какой должна быть зависимость α(x), чтобы при любой начальной скорости, направленной вдоль оси x, тело, пущенное из точки x = 0, двигалось в данной среде равнозамедленно? Силу тяжести не учитывайте. |
Решение:
Так как тело движется вдоль оси
x, то его ускорение, в соответствии со вторым законом Ньютона, равно:
Из условия задачи следует, что тело, пущенное в начальный момент времени из начала координат с начальной скоростью
vo, движется равнозамедленно. Обозначим ускорение тела
ax при данных начальных условиях через
−a = const. Координата тела
x и его скорость
v зависят от времени
t следующим образом:
Отсюда с учётом предыдущей формулы имеем:
Поэтому:
Таким образом, тело, пущенное из начала координат со скоростью
vo, может двигаться равнозамедленно только тогда, когда зависимость
α(x) имеет вид:
где:
Отметим, что
X имеет смысл расстояния, которое проходит тело от начала координат до полной остановки, и зависит только от свойств среды. При этом последнюю формулу следует понимать в том смысле, что тело, пущенное с некоторой скоростью
vo, движется с ускорением:
которое определяется начальной скоростью и свойствами среды.
Нас не должно удивлять наличие в выражении для
α(x) массы тела
m. При другой массе
mo, но тех же размерах, форме и начальной скорости тела его движение в среде с зависимостью
α(x), соответствующей массе
m, уже не будет равнозамедленным!
Далее: путь до остановки [тема: задачи на движение с сопротивлением]