Кольцо из тонкой проволоки разрывается, если его зарядить зарядом Q. Диаметр кольца и диаметр проволоки увеличили в три раза. При каком заряде будет разрываться это новое кольцо?
(Задача из журнала "Квант", Ф258).
Решение:
Под действием электрических сил электрического отталкивания кольцо деформируется, и в любом месте кольца результирующая сила упругости равна силе электрического взаимодействия выбранного элементарного участка со всем остальным кольцом:
Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами
Q1 и
Q2 находящимися на расстоянии
r друг от друга, согласно закону Кулона равна:
Это, очевидно, единственная комбинация из
Q1,
Q2 и
r, имеющая размерность силы. Поэтому электрическая сила в кольце должна быть пропорциональна:
(
R — радиус кольца):
где
α — коэффициент пропорциональности.
В момент разрыва сила упругости, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения проволоки, равна пределу прочности
σ, который зависит только от материала проволоки, поэтому:
где
S — площадь поперечного сечения проволоки.
Таким образом:
Если кольцо, имеющее втрое больший радиус и втрое больший диаметр проволоки, разрывается при заряде
Q1, то в этом случае:
Так как
S ~ d2 и
S1 ~ d12 (
d и
d1 — диаметры проволоки), то
S1 = 9S, и поэтому:
Тогда из равенств (1) и (2) получаем:
Далее: смена зарядов в двух сферах [тема: «нестандартные» задачи по электростатике]