Малое тело массой m и зарядом q удерживают в покое на небольшом расстоянии d от неподвижной металлической плоскости. Сколько времени потребуется, чтобы тело достигло плоскости, если его отпустить? Силой тяжести пренебречь.
(Двести физических задач. Библиотечка кванта. Задача 90).
Решение:
Легко показать, что заряд
q, расположенный вблизи проводящей плоскости, приводит к такому перераспределению заряда на этой плоскости, что электрическое поле вблизи плоскости со стороны заряда
q идентично полю, которое создают этот заряд и фиктивный заряд
−q, расположенный симметрично относительно плоскости. Это лежит в основе
принципа зеркальных изображений. Таким образом, сила притяжения
F, действующая на тело со стороны плоскости, рассчитывается по закону Кулона:
где
k — константа и
x — расстояние между плоскостью и телом в любой момент времени. Первоначально тело находится на расстоянии
2d от заряда изображения. Эта сила аналогична силе тяготения, возникающей между телами массами:
и
m, расположенных на расстоянии
x друг от друга, т. е.:
На основе этой аналогии
третий закон Кеплера дает соотношение между периодом обращения
T планеты и большой полуосью a ее эллиптической орбиты:
Если заряженное тело отпущено на расстоянии
d от металлической плоскости, то его орбиту можно рассматривать как выродившийся эллипс с главной полуосью:
Время
Th, через которое заряд попадает на плоскость, равно половине периода вращения по выродившейся орбите:
Далее: металлическая пластина залита слоем диэлектрика [тема: «нестандартные» задачи по электростатике]