Задача 10: средняя плотность электрических зарядов в атмосфере

Подсчитать среднюю плотность ρ электрических зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического поля на поверхности Земли равна 100 B/м, а на высоте h = 1,5 км эта напряженность падает до 25 B/м.

(Задача из журнала "Квант", Ф271).

Решение:

Как известно, напряженность электрического поля внутри заряженного тонкого сферического слоя равна нулю, а вне этого слоя напряженность такая, какой она была бы, если бы весь заряд слоя был сосредоточен в его центре. (Это можно показать, исходя из закона Кулона и принципа суперпозиции.)

Разобьем Землю и атмосферу на сферические слои. Тогда ясно, что на поверхности Земли напряженность электрического поля равна:

Eo =	Q3	,       (1)
	4πεoR32

где Q₃ — суммарный заряд Земли, R₃ — радиус Земли. На высоте h напряженность электрического поля складывается из напряженности поля, созданного зарядом Q₃ Земли, и из напряженности поля, созданного зарядом Q_a слоев атмосферы с радиусами, меньшими R₃ + h. То есть:

Eh =	Q3 + Qa	.
	4πεo(R3 + h)2

Так как:

QaVaρ = (	4	π(R3 + h)3 −	4	πR33)ρ,
	3		3

то:

Eh =	Q3	+	ρ	( R3 + h −	R33	).       (2)
	4πεo(R3 + h)2		3εo		(R3 + h)2

Радиус Земли R₃ много больше высоты h, поэтому в знаменателе формулы (2) можно сумму R₃ + h заменить на R₃. Тогда:

Eh =	Q3	+	h	ρ = Eo +	h	ρ.
	4πεoR32		3εo		3εo

Отсюда:

ρ =	3εo(Eh − Eo)	.
	h

После вычислений находим, что средняя плотность ρ электрических зарядов в атмосфере примерно равна −1,3×10⁻¹² Кл • м⁻³.

[тема: «нестандартные» задачи по электростатике]

---