Задача 8: движение модели корабля с сопротивлением

Модели корабля толчком сообщили скорость vo = 10 м/с. При движении модели на нее действует сила сопротивления, пропорциональная скорости: F = −kv.
  1. Найдите путь, пройденный моделью за время, в течение которого ее скорость уменьшилась вдвое.
  2. Найти путь, пройденный моделью до полной остановки.
  3. Какое время пройдет до полной остановки корабля? Считать k = 0,5 кг/с. Масса модели m = 0,5 кг.



Решение:

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса корабля за малое время Δt равно импульсу силы F, действующей на корабль:
mΔv = FΔt.
Сила F переменна, поэтому изменение импульса корабля за большой промежуток времени t равно импульсу средней силы <F>:
mv − mvo = <F>t.
Так как сила F пропорциональна скорости корабля, то:
<F> = −k<v>
и
mv − mvo = −k<v>t.
Но произведение <v>t равно пути S, пройденному кораблем. Поэтому:
m(v − vo) = − kS,
откуда:
S = m(vo − v).
k
Теперь легко найти путь, пройденный кораблем за время, в течение которого скорость корабля уменьшилась вдвое:
S1 = m(vo1vo) = mvo = 5 м,
k22k
и путь, пройденный кораблем до полной остановки:
S2 = m(vo − 0) = mvo = 10 м.
kk
Задача решена, однако интересно рассмотреть еще вопрос о том, какое время пройдет до полной остановки корабля. Для этого найдем, как меняется со временем скорость корабля.
Так как:
mΔv = FΔt
и
F = −kv,
то:
Δv= − kv.
Δtm
Мы получили, что скорость изменения скорости корабля пропорциональна самой скорости. Но, как известно, если изменение какой-либо величины пропорционально самой этой величине, то такая величина изменяется по экспоненциальному закону, поэтому:
v = voe−kt/m.
Из этой формулы следует, что v = 0 при t → ∞! То есть путь S2 корабль мог бы пройти за бесконечно большое время! Это означает, что второй вопрос задачи при условии F ~ v следует уточнить. Будем считать, что тело остановилось, если его скорость уменьшилась, например, в тысячу раз (число может быть, конечно, и другим; все зависит от цели эксперимента).

Примечание. В одной задаче модель, движение с сопротивлением и парадокс.


Далее: лампочка и увеличенная батарейка   [тема: задачи - модели]