Астрофизический портал | |
|
ВУЗ. Потенциал в центре квадрата (3.04.2009)
Sunshine91 - 3 апреля, 2009 - 08:47
Тонкие стержни, заряженные с линейной плотностью 1.33 нКл/м, образуют квадрат. Найти потенциал в центре этого квадрата.
Методичка: электричество, магнетизм, оптика. Авторы: Коваленко И.И, Лавровская, Литвинова и др.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
линейная плотность = q/L;
Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4;
Φ = Kq/(L/2);
q = лин.плотн. • L;
Φ = 4K • лин.плотн. • 2;
Мой ответ: 95.8 В.
Ответ учебника: 84 В.
Где я ошиблась? Помогите, пожалуйста.Спасибо!
В данном случае речь идет о заряженном отрезке (формулу для бесконечной равномерно заряженной нити применять здесь тоже нельзя). Сводится задача к тому, что необходимо выбрать небольшой кусочек на отрезке, который можно считать точечным зарядом, а потом проинтегрировать по длине. Я задачу решил, но сейчас убегаю, времени нет писать решение. Попробуйте сами, если не получится, я покажу, как надо.
Обозначим сторону квадрата за 2а. Из соображений симметрии очевидно, что каждая из четырех сторон вносит одинаковый вклад в суммарный потенциал в т. А. Из той же симметрии очевидно, что нижняя половина выбранной стороны создает такой же потенциал, что и верхняя (см. рис.). Таким образом, нам остается найти потенциал, который будет создавать половина стороны квадрата длиной а в т. А, а потом умножить получившийся результат на 8.
Итак, приступим. Выделим на половинке стороны квадрата небольшой кусочек длины dx, находящийся на расстоянии X от точки О. Поскольку длина этого кусочка очень мала по сравнению с x, можно считать ее точечным зарядом. Рассчитать этот заряд можно из формулы линейной плотности:
λ = dq/dx,
dq = λdx.
Потенциал, который создает точечный заряд dq в точке А, рассчитываем по формуле:
dФ = kdq/L. (1)
Из рисунка видно, что cos α = a/L. Подставляя отсюда длину в (1) и подставляя туда же dq, получим:
dФ = (kλ(cos α)/а)dx. (2)
Мы нашли потенциал, который создает маленький кусочек длины. Чтобы найти полный потенциал, необходимо проинтегрировать (просуммировать, другими словами) потенциалы, которые создают все другие кусочки половины стороны квадрата. Но прежде, необходимо связать dx с dα. Для этого необходимо рассмотреть треугольники ОАВ и ОАС (см. рис.):
tgα = x/a, (3)
tg(α + dα) = (x + dx)/a (4)
Дальше расписываем тангенс в (4) по формуле тангенса суммы углов и подставляем x из (3) в получившееся выражение:
(tg α + tg dα)/(1 − (tg α) × tg dα) = (a × tg α + dx)/a. (5)
Дальше это выражение необходимо преобразовать (писать это здесь не буду, довольно громоздко). Отмечу, однако, что в ходе преобразования необходимо учитывать что при малых углах (а угол dα очень мал) выполняется соотношение: sin α = tg α = α (выраженному в радианах). Также надо учесть, что tg α >> tg dα. В итоге выражение (5) упрощается до такого:
а × dα/(cos2 α) = dx.
Далее подставив dx в (2), интегрируем по углу в пределах от 0 до 45°:
SdФ = Skλ/((cos α)dα). (6)
(за S я обозначил знак интеграла). Формулу Ньютона-Лейбница здесь писать невозможно, поэтому приведу сразу результат интегрирования (оно при этом способе решения очень несложное, проделайте сами):
Ф = kλ × [ln(tg(п/8 + п/4)) − ln(tg(п/4))] = kλ × 0.88.
Здесь ln — натуральный логорифм, п — число "пи". Таким образом, Ф = 10.55 В. Не забудем, что мы нашли только восьмую часть общего потенциала. Результирующий потенциал равен:
Фo = 84.4 В.
P.S. 1) Задачу можно решать и по-другому, не выражая dx через dα. В уравнении (1) можно сразу расписать L по теореме Пифагора:
L2 = a2 + x2 и интегрировать сразу выражение kdq/√(a2 + x2) по dx. Однако интеграл в этом случае будет не табличный, как в приведенном мною решении.
2) Друзья, как здесь вставлять рисунки? Отправил чертеж на почту сайта, не знаю, когда выставят.
При создании задачи рисунки можно закачать там же. К комментарию рисунок просто так не добавить, но его можно прислать мне (остальное я сделаю сам) или же закачать на любой хостинг картинок, вставив здесь в комментарий html-код рисунка (его должны давать там же после закачки файла).
P.S. Хотя после этого я все равно закачиваю рисунок сюда и меняю ссылки, так как файлохостинги периодически чистят старые рисунки, и есть шанс, что нужный рисунок будет удален также.