Найти скорость, достаточную для вылета за пределы Солнечной системы (27 июля 2011)

Smoke - 27 июля, 2011 - 16:22
Космическая ракета обращается по круговой орбите на расстоянии h = 4 × 107 м от центра Земли в плоскости земной орбиты. Найдите минимальное изменение скорости ракеты Δvmin, которое может быть достаточным для вылета ее с этой орбиты за пределы Солнечной системы.

Источник: учебник по физике для 10 класса под редакцией А. А. Пинского, № 10.12.

Теги:

Комментарии

Опубликовано 27 июля, 2011 - 17:04 пользователем Smoke
Предлагаю вариант своего решения.

Введем величины, которые будут использованы в решении:

Rзс — радиус земной орбиты, Rз — радиус Земли, G — гравитационная постоянная, Mз — масса Земли, Mс — масса Солнца.

Найдем скорость, которую должна иметь ракета для вылета за пределы Солнечной системы:

mvc2/2 − GmMc / (Rз + h) = 0.

Отсюда vc = √(2GMc / (Rзс + h)).

Ракета, двигаясь вокруг Земли, обладает скоростью vo:

mvo2 / (Rз + h) = GmMз / (Rз + h)2,

откуда vo = √(GMз / (Rз + h)).     (1)

Земля, вращаясь вокруг Солнца, обладает скоростью vз:

Mзvз2 / Rзс = GMзMc / Rзс2,

откуда vз = √(GMc / Rзс).     (2)

Согласно закону сложения скоростей, скорость ракеты относительно Солнца равна геометрической сумме скорости Земли относительно Солнца и скорости ракеты относительно Земли:

voc = vз + vo, т. к. векторы скоростей направлены вдоль одной линии (3).

Следовательно, для выхода ракеты за пределы Солнечной системы ей нужно сообщить скорость:

vкз = vc − voс.     (4)

Учитывая поле тяготения Земли, ракете нужно сообщить скорость v2:

mv22 / 2 − GMз / (Rз + h) = 0,

откуда v2 = √(2GMз / (Rз + h)).     (5)

Согласно закону сохранения энергии:

mΔvmin2 / 2 = mv22 / 2 + mvкз2 / 2,

откуда, учитывая выражения (1) - (5), находим величину скорости, равную Δvmin = 10285 м/с.

Верно ли мое решение?

Опубликовано 27 июля, 2011 - 20:25 пользователем В. Грабцевич
Почитайте здесь: demon200870.narod.ru/diplom/glava3.htm

mvc2 / 2 − GmMc / (Rз + h) = 0.
Прокомментируйте эту формулу.

Опубликовано 27 июля, 2011 - 20:57 пользователем Smoke
Чтобы покинуть Солнечную систему, ракета должна обладать скоростью vc относительно Солнца. Когда ракета покидает Солнечную систему, ее полная механическая энергия относительно системы равна нулю. А в начальный момент времени она обладает кинетической энергией и потенциальной относительно Солнца, находится на расстоянии Rзс + h от центра Солнца в тот момент времени, когда центры Солнца, Земли и ракеты лежат на одной прямой.
Опубликовано 27 июля, 2011 - 20:59 пользователем В. Грабцевич
Тогда поправьте свои формулы. Ведь RЗ ≠ RЗС.
Опубликовано 27 июля, 2011 - 21:02 пользователем Smoke
Конечно, я не дописал буковку "с", но в формуле скорости написано верно. Чтобы написать мой вариант решения, пришлось изрядно потрудиться с тэгами. А поправить уже не могу, т.к. исчезла функция "изменить" после появления нового комментария.

А в чем же ошибка моего решения?

Опубликовано 27 июля, 2011 - 21:11 пользователем В. Грабцевич
Давайте определимся с понятиями: RЗС — расстояние между центрами Земли − Солнца, h — высота спутника над поверхностью Земли.
Где находится спутник? Какое расстояние от спутника до Солнца? Учитываете ли Вы взаимодействие "спутник-Земля"?
Опубликовано 27 июля, 2011 - 21:22 пользователем Smoke
Центры Солнца, Земли и ракеты находятся на одной горизонтальной прямой. К примеру, слева — Солнце, правее — Земля, еще правее — спутник. Конечно, я учитываю взаимодействие "ракета-Земля", ведь далее я рассчитал скорость ракеты относительно Земли, скорость Земли относительно Солнца и далее вычислил начальную скорость ракеты относительно Солнца. Расстояние от ракеты до центра Солнца Rзс + h.
Опубликовано 27 июля, 2011 - 21:47 пользователем В. Грабцевич
Непонятно, как получена формула (5). Что здесь RЗ + h?
Опубликовано 28 июля, 2011 - 11:07 пользователем Smoke
В формуле (1) допущена неточность:

mvo2 / h = GmMз / h2,

откуда vo= ?(GMз / h).

В формуле (5) допущена неточность: mv22 / 2 − GMз / h = 0,

откуда v2 = ?(2GMз / h).

Находим изменение скорости, необходимое для вылета за пределы поля тяготения Земли:

vк = v2 − vo.

Согласно закону сохранения энергии:

m?vmin2 / 2 = mvк2 / 2 + mvкз2 / 2,

откуда, учитывая выражения (1) - (5), находим величину скорости, равную ?vmin = 9.3 х 103 м/с.

Также в формуле mvc2/2 − GmMc / (Rз + h) = 0 должно быть не Rз, а Rзс.

P. S. Прошу afportal или другого способного изменять комментарии пользователей внести корректировку в мой первый комментарий с учетом далее выясненных ошибок.

Опубликовано 28 июля, 2011 - 13:42 пользователем afportal
Если корректировать первый комментарий, то надо изменять и последующие, иначе для новых посетителей будет потеряна логика общения.

Давайте Вы лучше разместите нужный комментарий еще раз, но уже в исправленном виде.

Опубликовано 28 июля, 2011 - 14:48 пользователем Smoke
Предлагаю вариант своего решения.

Введем величины, которые будут использованы в решении:

Rзс — радиус земной орбиты, Rз — радиус Земли, G — гравитационная постоянная, Mз — масса Земли, Mс — масса Солнца.

Найдем скорость, которую должна иметь ракета для вылета за пределы Солнечной системы:

mvc2/2 ? GmMc / (Rзc + h) = 0,

отсюда vc = ?(2GMc / (Rзс + h)).     (1)

Ракета, двигаясь вокруг Земли, обладает скоростью vo:

mvo2 / h = GmMз / h2,

отсюда vo = ?(GMз / h).     (2)

Земля, вращаясь вокруг Солнца, обладает скоростью vз:

Mзvз2 / Rзс = GMзMc / Rзс2,

отсюда vз = ?(GMc / Rзс).     (3)

Согласно закону сложения скоростей, скорость ракеты относительно Солнца равна геометрической сумме скорости Земли относительно Солнца и скорости ракеты относительно Земли:

voc = vз + vo, т. к. векторы скоростей направлены вдоль одной линии.     (4)

Следовательно, для выхода ракеты за пределы Солнечной системы ей нужно сообщить скорость:

vк1 = vc − voс.     (5)

Учитывая поле тяготения Земли, ракете нужно сообщить скорость v2:

mv22 / 2 ? GMз / h = 0,

отсюда v2 = ?(2GMз / h).     (6)

Находим изменение скорости, необходимое для вылета за пределы поля тяготения Земли:

vк2 = v2 − vo     (7)

Согласно закону сохранения энергии:

m?vmin2 / 2 = mvк12 / 2 + mvк22 / 2,

отсюда, учитывая выражения (1) - (7), находим величину скорости, равную ?vmin = 9.3 х 103 м/с.

Верно ли мое решение?

Опубликовано 5 августа, 2011 - 14:11 пользователем Smoke
Так никто и не ответил...
Опубликовано 5 августа, 2011 - 14:17 пользователем В. Грабцевич
Почему же Вам "не ответили". С Вами вступили в диалог, Вы поправили неточности. Можно ли так решать, как Вы решали? Можно.

Посмотрите еще здесь: fizportal.ru/zakonsohran/50

Опубликовано 5 августа, 2011 - 14:24 пользователем Smoke
Спасибо за ответ. Именно это я и хотел услышать, чтобы точно знать, верно ли мое решение, дабы не оставаться в неведении.