Под каким углом установятся нити, образующие ромб? (10 октября 2010)

Ваша идея (!) явно претендует на оригинальность: одноименные заряды отталкиваются (или притягиваются?). Вы нас путаете?

Ответ:

tg³ α = 1/2.
tg α = 0,7937.
α = 38,4°.

Угол раствора нитей 2α = 76,8°.

Random, Вам нужно решение?

Поскольку требуется найти угол, единицу измерения силы можно выбрать произвольно, за такую единицу я приняла kq²/a², где a — длина стороны ромба. Используется симметрия сил относительно вертикальной оси, если заряд 2q поместить в наивысшей вершине ромба. Сначала рассматривается равновесие сил в точке с зарядом 2q и в противоположной вершине ромба. Это даёт возможность определить силы натяжения нитей у заряда 2q:

T₂ = (8cos³ (α) + 1) / (4cos³ α),   угол между силами 2α.

Для заряда q, противоположного заряду 2q, силы натяжения нитей:

T₁ = (4cos³(α) + 1) / (4cos³ α).

Затем надо рассмотреть равновесиле сил, действующих на один из боковых зарядов q, и получаю уравнение:

tg³ α = 0,5.

Чертёж по отношению к Вашему повёрнут на 90°.

Random, если надо, я могу привести полное решение.

Уважаемый daranton, у меня нет приспособлений, чтобы ввести чертёж. Поверните чертёж random на 90° так, чтобы заряд 2q был наверху, и угол между сторонами ромба был острый (таков ответ, но Вы заранее не можете знать, поэтому на чертеже угол может быть и тупым), а сторону ромба возьмите побольше, чтобы было удобнее изобразить силы. Угол α — половина угла между нитями у заряда 2q. Силы натяжения нитей random совсем не показал, а между тем они удерживают отталкивающиеся одноимённые заряды.

На каждый заряд действует пять сил: силы отталкивания со стороны трёх остальных зарядов и силы натяжения двух нитей. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам, диагональ ромба — ось его симметрии. Если заряд 2q разместить наверху, то вертикальная диагональ будет не только осью симметрии ромба, но и осью симметрии для зарядов, а, значит, и для сил. Поэтому будут симметричны (равны по модулю и направлены под одинаковыми углами) и силы натяжения нитей Т₂. Их равнодействующая (обозначим равнодействующую как Т_2R) направлена по диагонали ромба вертикально вниз. Равны и модули сил натяжения нитей T₁, действующие на заряд q, расположенный на нижней вершине ромба, их равнодействующая (обозначим её как T_1R) направлена вертикально вверх.

На каждый из боковых зарядов q действуют разные силы натяжения нитей: наклонно вверх сила с модулем Т₂, наклонно вниз — сила с модулем Т₁, разные по величине, поэтому их равнодействующая не будет направлена по диагонали. Пусть ось х направлена вправо по горизонтальной диагонали ромба, ось у — вверх по вертикальной диагонали ромба. Сторону ромба обозначу как а.

Модуль силы взаимодействия верхнего заряда 2q с боковым зарядом q равен:

F₂ = k • 2q² / a².

Поскольку надо определить угол, единицу измерения силы можно выбрать произвольно. Я выберу условную единицу силы, равную kq²/a². Тогда F₂ = 2 условных единиц.

На нижний заряд q действуют две равные по модулю силы отталкивания боковыми зарядами F₁ = 1 (условных единиц, но в дальнейшем единицы я не пишу), а также сила отталкивания верхним зарядом: F₃ = 2 / (2cos α)² = 1 / (2cos² α) и силы натяжения двух нитей, по модулю равные Т₁ и действующие под углом 2α. Чертёж Вам придётся начертить самому.

Итак, на нижний заряд действуют две равные по модулю F₁ = 1 силы притяжения боковыми зарядами, их равнодействующая R₁ = 2F₁cos α = 2cos α и направлена вертикально вниз.

Равнодействующая двух сил натяжения нитей Т₁ направлена вертикально вверх, обозначу её модуль как Т_1R, при этом:

T_1R = R₁ + F₃ = 2cos α + 1 / (2cos² α) = (4cos³(α) + 1) /(2cos² α).

Отсюда из параллелограмма сил нахожу модуль силы натяжения нити:

T₁ = T_1R / (2cos α) = (8cos³ (α) + 1) / (4cos³ α).

Аналогично, рассматривая равновесие сил, действующих на верхний заряд 2q, нахожу силу натяжения верхних нитей:

T₂ = (8cos³ (α) + 1) / (4cos³ α).

Осталось рассмотреть равновесие сил, действующих на один из боковых зарядов, например, левый. Нахожу проекции сил на ось х (равенство нулю суммы проекций на ось у даёт тождество). Модуль силы отталкивания между боковыми зарядами обозначу как T₄. Расстояние между боковыми зарядами равно 2a • sin α. Тогда в принятых условных единицах модуль силы F₄ = 1 / (4sin² α).

Найду проекции сил на ось х с учётом направления сил. Проекции сил F₁, F₂, F₄ отрицательны, проекции T₁ и T₂ — отрицательны. Найду эти проекции.

T_1x = T₁ sin α = (8cos³ (α) + 1) (sin α) / (2cos³ α).

T_2x = T₂ sin α = (8cos³ (α) + 1) (sin α) / (2cos³ α).

F_1x = −F₁ sin α = −sin α,

F_2x = −F₂ sin α = −2sin α,

F_4x = −F₄ = −1 / (4sin² α).

Приравнивая нулю сумму проекций сил на на ось х, получаю уравнение:

(sin α (12cos³ (α) + 2) / (4cos² α) = 3sin α + 1/(4sin² α).

После приведения к общему знаменателю:

(12sin³ (α) + 1) cos³ α = (12cos³ (α) + 2) sin³ α.

После сокращения:

cos³ α = 2sin³ α.

tg³ α = 1/2.
tg α = 0,7937.
α = 38,4° .

Угол раствора нитей при заряде 2q в два раза больше:

2α = 76,8°.

У меня ошибка, надо:

T_1x = T₁ sin α = (4cos³α + 1) (sin α) / (2cos³ α).

Вместо 8 надо 4;   4 + 8 = 12.

Ошибка при переписывании. Все дальнейшие вычисления верные.