| Астрофизический портал | |
|
Сумма показаний всех амперметров и вольтметров (7 июля 2009)
das - 7 июля, 2009 - 09:53
К батарейке U = 1,5 В подключена очень длинная цепь из множества одинаковых амперметров и такого же количества одинаковых вольтметров (см. рис.). Каждый из амперметров имеет сопротивление r = 1 Ом, сопротивление каждого вольтметра R = 10 кОм. Что показывают первый и второй амперметры? Найдите сумму показаний всех амперметров и сумму показаний всех вольтметров в этой цепи.
Задача с олимпиады МИФИ, Росатом, 2008.
Кому интересно, можете решить, подсказки не нужны, т.к. в прошлом году решал эту задачу, показалась полезной и необычной.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
А у меня есть :)
Мой ход. Я бы определил общее сопротивление для начала, оно равно 100,50125 Ом.
Для нахождения эквивалентного сопротивления цепи необходимо выделить общую секцию, которая бесконечно повторяется. Вполне очевидно, что если отделить ее от цепи, то общее сопротивление этой цепи не изменится, т.к. число элементов (секций) бесконечно. В силу вышесказанного, выделим повторяющуюся секцию в цепи и заменим сопротивление остальной цепи искомым сопротивлением R.
Причем R параллельно сопротивлению вольтметра и затем последовательно амперметру.
R = 10000 R / (10000 + R) + 1.
Далее приводим к квадратному уравнению относительно искомого общего сопротивления R.
После нахождения общего сопротивления, находим общий ток в цепи (показание первого амперметра) и получаем первую цифру.
Дано: U = 1,5 В; r = 1 Ом; R = 10000 Ом.
Обозначу: X — общее сопротивление цепи, u1; u2 - показания первого и второго вольтметров, V — сумма показаний всех вольтметров, i1; i2 — показания первого и второго амперметров, I — сумма показаний всех амперметров.
X = r + RX / (R+X);
X2 − rX − rR = 0;
X = (r + √(r2 + 4rR)) / 2 = (1 + √40001) / 2 = 100,50125 Ом.
Это не точное значение X, оно округлено.
А дальше задача решается так.
Показания вольтметров и амперметров составляют две геометрических прогрессии. Найдём их квоциенты. Но сначала найдём показания первого вольтметра и амперметра:
i = i1 = U/X = 1,5/100,50125 = 0,014925188 А = 14,925188 мА;
u1 = U − ir = U − Ur/X = U (1 − r/X) = U (X − r) / X = (1,5 × 99,50125) / 100,50125 = 1,4850748 В.
При этом u1 — первый член прогрессии напряжений, её квоциент q = (1 − r/X), так как это соотношение выполняется в каждой цепочке. По формуле суммы членов бесконечной геометрической прогрессии:
S = u1 / (1 − q)
находим сумму показаний всех вольтметров V;
вычисляем 1 − q = r/X;
тогда V = u1X/r.
V = (1,4850748 × 100,50125) / 1 = 149,25187 В.
Для показаний амперметров первый член прогрессии i = i1, квоциент прогрессии найдём из того, что при параллелльном соединении ток распределяется обратно пропорционально сопротивлениям; i2 = i1R / (R + X), так как R — одна ветвь, X — другая ветвь, а (R + X) — их сумма.
Таким образом, квоциент прогрессии для токов q = R / (R + X), величина 1 − q = 1 − R / (R + X) = X / (R + X); тогда сумма показаний всех амперметров I = i / (1 − q) = i(R + X) / X = (0,014925188 × 10100,50125) / 100,50125 = 1,5 А.
Но это не точное значение I (приближённое — 1,50000005 А).
Ответ.
X = 100,50125 Ом;
i1 = 14,925188 мА;
I = 1,5 А;
u1 = 1,4850748 В;
V = 149,25187 В.
das, я попыталась ещё найти те значения сопротивлений, при которых X вычисляется точно, как целое число; нашла, что это будет только при отношении сопротивлений R/r = 2. Тогда X = 2r. Получается более лёгкая задача, когда бесконечная цепь составлена просто из сопротивлений r и R = 2r (а не амперметров и вольтметров), найти надо общее сопротивление цепи.
das, пусть для Вас тоже этим летом в листях деревьев играют солнечные лучи! Я желаю искренне! Желаю этого всем читателям портала!
А inkermanu ещё и спасибо за правильные циферки. На этот раз я не перепутала ничего, spaits?
1) Решение очень трудное, есть более легкое;
2) Не доказано, что геометрическая прогрессия. Дальше уже не смотрел.
das, покажите, пожалуйста, более лёгкое решение.
Кстати, spaits, Ваш родной язык — латгальский (восточная Латвия)? А ник означает просто луч или именно луч солнца в листве деревьев?
2) Iобщ = U/Z = 0,015 A;
3) По обычным законам Ома находим ток через 1-ый и 2-ой амперметры, это легко;
4) Кирхгофа пишем так:
U = r (I1 + I2 + ... + In + ...) ⇒
I1 + I2 + ... + In + ... = U/r = 1,5 A.
5) Опять Кирхгофа пускаем в "бой":
U − I1r = i1R,
U − I2r − I1r = i2R и т.д.,
где ii — ток через i-ый вольтметр. Ну и, складывая все уравнения, получаем V = 150 В.
Либо так: очевидно, что i1 + i2 + ... = I1 ⇒
V = I1R = 150 В.
das, Ваше решение по нахождению I красивое, оно как бы на виду, а я увлеклась своим и не заметила. Если Вы считаете, что прогрессии — сложная математика, то где тогда простая? Тогда и закон Киркхофа — не простой. Самый простой закон — это сказать о мнении других: "А я даже не читал".
inkerman, да, мой родной язык — латгальский. Spaits — это не луч, а блик солнца, игра лучей, и не обязательно в листях деревьев, может быть даже в полуденной дымке. Это слово чаще всего употребляется как глагол: "sauleite spaitoj", что можно перевести как "солнышко играет".
К анализу этой задачи я постараюсь вернуться.
Я писала: распределение токов (ну, и напряжений, конечно) во всех цепочках одинаковое. Это значит: i2 = q × i1; i3 = q × i2 и т.д. А формула S = a / (1 − q) для бесконечной геометрической прогрессии входит в программу средней школы. Анализ этой задачи я проведу позднее, сейчас у меня нехватка времени.
Да и вообще, какой смысл говорить о точности? Задача эта (точнее ее решение) имеет практическое применение при большом числе ампертметров и вольтметров (напр. 100 шт.), в этом случае Ваше решение не точно.
А если говорить о сложности, то Кирхгоф применяется практически постоянно, тогда как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии не применяется почти нигде.
1) Кирхгоф изучается только в физмат. классах, а обычные про него не знают даже.
2) Геом. прогрессию и бесконечно убывающую знают все во всех школах во всех классах. Вернее, учат все... Вернее, всех учат... :)
3) Обычно закон Кирхгофа применяется для конечных контуров, и тут вся особенность применить его для бесконечного (по сути замкнутого на бесконечности) контура. В этом вся фишка и соль задачи через Кирхгофа.
4) Если такой контур не увидеть, то самое простое, что можно сделать, раз уж найдены токи на первом и на втором, — можно попытаться увидеть закономерность в токах через амперметры. Оказывается, каждый следующий отличается в q раз, а дальше геом. прогрессия и ответ получаются автоматически.
Поэтому лично мое мнение таково, что через прогрессию доступнее, но более громоздко и является решением "в лоб", а решение через Кирхгофа — менее доступно, но короче и изящнее.
Между прочим, Вы вовсе не стали вычислять I1, написали: "Ну, это легко". Тогда оцените хотя бы точность определения I1 и X при Вашем предположении. Обозначения здесь, как в приведённом выше моём решении. Насчёт того, что токи составляют геометрическую прогрессию, то при бесконечном числе цепочек — да. Примените закон Киркхофа в точках разветвления токов в первой, второй цепочке и т.д. Здесь снова, как при вычислении X, оставшаяся цепь заменяется значением X. Просто.
Насчёт закона Киркхофа, что он в электротехнике применяется чаще, чем геометрические прогрессии, Ваша правда, но сейчас мы говорим о точности полученного ответа. Да, сумму токов Вы нашли красиво. Но как с точностью определения общего тока (тока первого амперметра), если общее сопротивление найдено неточно? Поясните, пожалуйста.
2) Ну вот, видите, чтобы еще доказать, что присутствует геометрическая прогрессия, нужно писать хотя бы 3 (2 нужны, а вот 1 необязателен, а еще лучше написать 4-5 для самопроверки) Кирхгофов (как минимум, чтобы заметить, что тут прогрессия). Да и вообще, получается нестрогое доказательство, кто знает, может быть, на каком-то шаге прогрессия нарушится. Нельзя ли доказать для k и k + 1 цепочки?
3) Ну и вообще, если общее сопротивление брать, как Вы посчитали, 100,50125 Ом, то ток общий получим 0,0149252 A,
а при 100,5 Ом — 0,0149254 A ⇒
((0,0149254 − 0,0149252) / 0,0149254) × 100% = 0,003%.
1) Если считать, что дан ток в первом амперметре I1, то это будет совсем другая задача.
2) Закон Кирхгофа нужно применить только к первой точке разветвления тока, при этом оставшуюся часть схемы заменяют на сопротивление X. Вторая цепочка и последующие будут точно такими же, как первая, поэтому коэффициент (во сколько раз уменьшается ток), будет тот же. Схемы-то одинаковые!
3) Я просила Вас оценить совсем другую ошибку. Какая будет ошибка при вычислении X, если число цепочек N конечно? Конечно, вычисляя сумму токов Вашим методом, теоретическая ошибка равна нулю, то есть ошибки нет. Но это не относится к вычислению X, I1 и U1. Ведь при вычислении X предполагается, что цепь — бесконечная. Я просила Вас оценить ошибку при переходе от бесконечной цепи к конечной. Метод прямого расчёта для N = 100 Вы сами отвергли.
2) inkerman, просто spaits сначала написала: "Примените закон Кирхгофа в точках разветвления токов в первой, второй цепочке и т.д.". С доказательствам насчет геометрчиеской прогресси согласен с inkerman и spaits.
3) при N = 100 Z = 131,8055 Ом ⇒
(Z(N = 100) − Z(N → inf)) / Z(N = 100) = 0,24;
N = 1000 Z = 100,5013 Ом.
Вычислено ранее:
X = (r + √(r2 + 4rR)) / 2;
i1 = U/X;
i2 = i1R / (R + X);
q = R / (R + X);
1 − q = X / (R + X).
Тогда I = i1 / (1 − q) = (U / X) × (R + X) / X = U (R + X) / X2.
Вычисляю отдельно: R + X = R + (r + √(r2 + 4rR)) / 2 = (2R + r + √(r2 + 4rR)) / 2;
X2 = r (r + 2R + √(r2 + 4rR)) / 2.
Подставляя эти значения в выражение для I и сокращая, получаю: I = U / r. Точное значение. Привожу решение потому, что положено решать в общем виде до конца. Тот же ответ у das, он нашёл его блестяще. Даже зная I, мы не можем найти i1, если неизвестно X. Но X легко вычисляется только переходом к бесконечной цепочке. Я и прошу Вас, das, оценить ошибку определения X, i1, u1 и V при переходе от бесконечного к конечному числу цепочек. Да, сумма токов I определяется точно при любом числе цепочек N. И она единственная из величин, которые требуется определить в данной задаче, не зависит от N. Сумма показаний вольтметров (сумма напряжений) V тоже зависит от N. Я не привожу здесь вывода формулы, но V = U (X − r) / r, а X ведь зависит от N, не так ли, das?
И только при бесконечном N выполняется равенство V = (U / 2r) × √((r2 + 4rR) − r) = 149,25147 В. Конечно, это трудоёмкая задача, но, возможно, стоит исследовать, как зависят искомые величины от N, если число цепочек конечно. Сумма токов I не зависит, она единственная не зависит от N.
А я написала "Кирхгоф" неверно, это не нарочно, извините за ошибку.
Я уже упоминала более простую задачу, чем эта.
Дана такая же бесконечная цепь, но вместо амперметра — сопротивление r, вместо вольтметра — сопротивление R = 2r. Требуется вычислить общее сопротивление цепи X.
Решение. Применяю уже выведенную формулу, X = (r + √(r2 + 4rR)) / 2 = (1 + √(1 + 4 × 1 × 2)) / 2 = (1 + √9) / 2 = (1 +3 ) / 2 = 2 Ом. И всё.
Для этой цепи уже при N = 3 отличие общего сопротивления от X составляет менее 3 %.
Эту задачу я предлагаю как более простую, чем данная задача. Я её нашла, исследуя те целочисленные значения R и r, при которых в формуле для X при извлечении корня получается целое число. Я нашла только одно соотношение: R = 2r. И тогда общее сопротивление бесконечной цепи X = 2r.
Страницы