Астрофизический портал | |
|
За какое время уровень понизится? (9 марта 2009)
malena - 9 марта, 2009 - 16:31
Сосуд в виде полусферы радиусом R = 10 см до краев наполнен водой. На дне сосуда имеется отверстие с поперечным сечением S = 4 мм2. Определите время, за которое через это отверстие выльется столько воды, чтобы ее уровень в сосуде понизился на 5 см (ответ 10 мин).
Учебник: Трофимова, 1999 г, задача № 1.217.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
Найти формулу для определения объема сегмента сферической поверхности, а далее:
V = 0,6√(2gh) × st.
Выразите искомое время вытекания.
И еще в формуле s, это s = 4 × 10−6 — то есть площадь маленького отверстия?
V = πh2(3r − h)/3 — вот такая формула объема сегмента сферической поверхности, а что мне тут брать за h?
Что касается объема, Вам надо от объема половины сферы отнять записанный вами объем V.
У меня лишь 2 повода для сомнения: в предыдущей задаче в Трофимовой сказано, что вязкостью пренебречь. Вероятно, автор полагал в этой задаче тоже пренебречь вязкостью воды. Интегрировать нужно. Т.к. это задачник для ВУЗов и опять-таки, в предыдущей задаче интегрирование используется (есть решение в книге).
Давайте проинтегрируем:
S(h) = π(R2 − h2) — так меняется площадь сечения полусферы с высотой, отсчет ведем от поверхности.
Проинтегрируем S(h) по dh в пределе от 0 до h.
У меня получилось:
V = πR2h − πh3/3.
Далее считаем, что объем вода вытекает со скоростью v = √(2gh) в течении времени t через малое отверстие s, что справедливо для малых отверстий.
Время вытекания:
t = (πR2h − πh3/3)/(s√(2gh)).
После вычисления t = 363 c = 6 мин, если сделать поправку на вязкость, то t = 605 c = 10 мин.
Ваши рассуждения, inkerman?
Нужно просто записать дифур:
√(2g(R − h))s dt = −π(R2 − h2) dh
и решить его. Если сделать всё аккуратно, то получается 5 минут.
А что касается коэффициента 0,6... Вы когда-нибудь делали эксперимент? Так вот, экспериментально получается, что скорость вытекания равна v = 0,6√(2gh).
По поводу эксперимента: полученный результат зависит от указанных мной параметров (и, вероятно, не только от них). Или Вы хотите сказать, что для воды для тонкой сферы будет всегда 0,6 или около 0,6? Если так — пруфлинк в студию. Т.е. укажите авторитетный источник.
Математический анализ для решения физических задач. Шубин М.А, стр. 19.
В этом источнике приведена цифра 0.6 и сделано утверждение, что именно 0.6 характеризует наличие вязкости. При этом в источнике это утверждение никак не обосновано. Чтобы показать, что 0.6 не из головы, нужно обосновать, почему именно 0.6, а не 0.2, например.
Ваша книжка для математиков, там в физику особо не лезут. Они ввели коэффициент 0.6 просто для отмазки, мол, учли мы вязкость. В физике так не делается. Есть специальный коэффициент вязкости, который характеризует ТОЛЬКО жидкость и, зная геометрию сосуда, уже находят скорость истечения. Это целая отдельная задача и просто коэффициентом тут не обойтись.
Ответ 10 мин в задаче — ошибочный.
Что η зависит от температуры?
Это, кстати, подтверждает мои слова: поправочный коэффициент зависит от температуры и, не зная её, говорить, что он равен 0,6, — преждевременно.
А от этого результат очень разный.
Если отбросить маловероятный случай "плоскость вертикально", то надо решать задачу для двух случаев:
"плоскость вниз" (как у чайника) и
"плоскость вверх", как у пиалы.
У меня получились числа, без учета коэффициента расхода:
2.4 мин — "чайник",
5.0 мин — "пиала".
Поклясться, что в вычислениях не допустил ошибки, не могу.
Коэффициент 0.6, который приводится в книге Шубина, это не коэффициент вязкости. Это коэффициент расхода. Описание, от чего он зависит, можно найти в книгах по гидравлике. Он зависит от вязкости через число Рейнольдса. При числах Рейнольдса больше сотни этот коэффициент мало отличается от 0.6 для вытекания через тонкую стенку. Если вытекание происходит через насадки разных форм, то этот коэффициент может довольно сильно отличаться от 0.6.
___
Решил проверить экспериментом этот коэффициент.
Взял консервную банку, сверлил в дне дырки диаметром 1.5, 2.0, 2.3 мм.
Засекал скорость падения уровня.
У меня получился коэффициент расхода примерно 0.8.
___
Не может ли кто дать более полные данные этого задачника, чтобы можно было найти его?
Александр, у Вас есть возможность привести ссылочку, где говорится, что При числах Рейнольдса больше сотни этот коэффициент мало отличается от 0.6 для вытекания через тонкую стенку?
Задачник есть тут:http://www.alleng.ru/d/phys/phys123.htm .