Астрофизический портал | |
|
Найти массу корабля без груза (31 марта 2016)
olle - 31 марта, 2016 - 02:26
При плавании порожней рыболовной шхуны в одном из морей ватерлиния (уровень максимального погружения шхуны) находится на высоте hn = 0,5 м от поверхности воды, а в другом (более соленом) — на высоте hc = 0,6 м. При этом максимальная загрузка рыбой в первом море составляет mn = 50 тонн, а во втором — mc = 63 т. Найдите массу mo корабля без груза. Борта корабля в рассматриваемом диапазоне погружений можно считать вертикальными.
Источник: городская олимпиада по физике 2006 года в Бобруйске за 10-й класс, задача № 2.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
Обозначим площадь горизонтального поперечного сечения шхуны через S (поскольку борта шхуны считаются вертикальными, S постоянно для всех случаев), плотность менее соленой воды через ρn, более соленой — через ρc.
Тогда в менее соленой воде:
mn = ρnShn,
в более соленой:
mc = ρcShc.
Сразу же получаем:
ρc/ρn = (mc/mn) (hn/hc) = 1,26 / 1,2 = 1,05.
Далее, обозначив через Vn объем воды, вытесняемой порожним судном в менее соленом море, а через Vc — в более соленом, получим:
mo = ρnVn,
mo = ρcVc,
Vc / Vn = ρn / ρc,
Vc − Vn = S (hc − hn) = Shc − Shn = mc/ρc − mn/ρn.
После преобразований имеем:
mo = (mc − 1,05mn) / (1,05 − 1) = 210 т.
1) почему справедливы следующие уравнения:
в менее соленой воде mn = ?nShn, в более соленой mc = ?cShc.
В них не учитывается масса шхуны, то есть при максимальной загрузке глубина погружения как раз соответствует ватерлинии. А при максимальной загрузке общая масса — это масса шхуны + масса груза.
2) Далее в официальном решении:
обозначив через Vn объем воды, вытесняемой порожним судном в менее соленом море, а через Vc — в более соленом, получим:
mo = ?nVn,
mo = ?cVc,
Vc / Vn = ?n / ?c,
Vc − Vn = S (hc ? hn).
Почему для незагруженной (порожней) шхуны объемы погруженной в воду части определяются опять же ватерлиниями?
По идее, исходные уравнения должны быть такими (после сокращения на g):
mo + mn = ?nShn,
mo + mc = ?cShc,
mo = ?nSh1n,
mo = ?cSh1c,
где h1 — это соответствующие глубины погружения для порожней шхуны,
h1n < hn, h1c < hc. Откуда не так просто найти mo...
Теперь по делу. Будем пользоваться теми обозначениями, которые уже есть, и добавим еще одно, H — высота ватерлинии над дном шхуны. В задаче есть четыре условия:
a) осадка порожней шхуны в пресной (или менее соленой) воде,
b) осадка порожней шхуны в соленой воде,
c) максимально разрешенная загрузка (т.е. есть загрузка с осадкой по ватерлинию) в пресной воде, и
d) максимально разрешенная загрузка в соленой воде.
Эти четыре условия приводят к четырем уравнениям статического равновесия, давайте их составим.
1) mo = ρnS (H − hn).
2) mo = ρcS (H − hc).
3) mo + mn = ρnSH.
4) mo + mc = ρcSH.
Неизвестных пять: это плотности пресной и соленой воды, ρn и ρc, площадь S горизонтального сечения шхуны, масса mo порожней шхуны и расстояние H между дном и ватерлинией. Однако обе плотности входят в уравнения только в виде произведений плотности и площади сечения S, поэтому удобно ввести два новых обозначения, Kn = ρnS и Kc = ρcS. Перепишем все четыре уравнения с этими новыми обозначениями:
5) mo = Kn(H − hn).
6) mo = Kc(H − hc).
7) mo + mn = KnH.
8) mo + mc = KcH.
Теперь неизвестных тоже четыре: это два новых параметра Kn и Kc, масса порожней шхуны mo и высота H от дна до ватерлинии. Собственно, на этом физика заканчивается, осталось чуть-чуть алгебры. В уравнениях 5, 6 раскроем скобки:
9) mo = KnH − Knhn.
10) mo = KcH − Kchc.
Произведения KnH и KcH, которые появляются в уравнениях 9 и 10, можно взять из уравнений 7 и 8. Тогда уравнения 9 и 10 пробретают вид:
11) mo = mo + mn − Knhn.
12) mo = mo + mc − Kchc.
А после упрощений:
13) mn = Knhn.
14) mc = Kchc.
Решаем эти уравнения:
15) Kn = mn / hn.
16) Kc = mc / hc.
Теперь решения 15 и 16 подставляем в уравнения 9 и 10, получаем:
17) mo = mnH / hn − mn.
18) mo = mcH / hc − mc.
Это система двух линейных уравнений с неизвестными mo и H. Поскольку равны левые части двух последних уравнений, то равны и правые части. Получаем новое уравнение с единственным неизвестным H — расстоянием между дном и ватерлинией.
19) mn(H − hn) / hn = mc(H − hc) / hc.
Решим его и найдем высоту H:
20) H = (mc − mn) hnhc / (hn mc − hcmn).
Подставляем это решение в любое из уравнений 17 или 18 и получаем массу порожней шхуны:
21) mo = mnmc(hc − hn) / (hn mc − hcmn).
Подставляем числа и получаем массу порожней шхуны mo = 210 тонн.
Полученная формула позволяет понять, при каких данных решение существует, а при каких — нет. Числитель дроби в решении всегда положителен: осадка в соленой воде меньше, чем в пресной.
22) hc > hn,
а значит и знаменатель должен быть положителен тоже. Приближаться к нулю знаменателю, понятное дело, нельзя, иначе масса mo станет неограниченной. Условие существования решения:
23) hn mc − hc mn > 0.
Его можно преобразовать к виду:
24) mc / mn > hc / hn.
Объединяем неравенства 22 и 24, и условие существования решения (то есть совместимости исходных данных) принимает окончательный вид:
25) mc / mn > hc / hn > 1.
Для тех данных, которые приведены в условии задачи, решение существует:
mc / mn = 63 / 50 = 1.26 и hc / hn = 60 / 50 = 1.2.