Астрофизический портал | |
|
Какие одинаковые заряды следует сообщить трем шарикам? (5 ноября 2015)
katya.latypova.97 - 5 ноября, 2015 - 11:35
Три одинаковых маленьких шарика массами по 1 г подвешены на нитях в одной точке. Определите, какие одинаковые заряды следует сообщить шарикам, чтобы каждая нить составила с вертикалью угол 45°. Длина каждой нити l = 10 cм.
Источник: Чакак. Физика. Пособие для поступающих в ВУЗ.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
Далее рассматриваем условие равновесия для одного из шариков: векторная сумма сил отталкивания от двух других шариков, силы тяжести и силы натяжения нити равна нулю. От векторов переходим к их проекциям на оси.
Заряд выражается из силы отталкивания: для каждой пары шариков она равна kq2 / a2.
q2 = (√3) mgl2 (sin [2α]) / (2k),
где k — постоянная в законе Кулона, α = 45°, в общем случае угол нитей с вертикалью.
У Вас такой ответ?
q = l (sin α) √([√3] mg (tg α) / k).
Рассмотрим правильный треугольник со стороной a, в вершинах которого сидят заряды. Возьмем один из зарядов и проведем через него ось симметрии треугольника. Со стороны каждого из двух других зарядов действует сила kq2 / a2. У нее две составляющие: вдоль оси симметрии (умножить на √3 пополам) и поперек оси симметрии (просто пополам). Те, что поперек, взаимно уничтожаются. Составляющие вдоль оси от двух зарядов складываются, получаем
F = 2 (kq2/a2) (√3) / 2 = (kq2 √3) / a2.
Отметим, что нить проектируется именно на эту ось симметрии, и длина проекции равна l sin α. И она же (длина горизонтальой проекции нити) — это две трети длины медианы. Вся медиана: a (√3) / 2. Две трети ее: a / √3.
Это условие дает связь между длиной нити и стороной правильного треугольника в основании пирамиды: a = l (√3) sin α. Это соотношение можно подставить в выражение для горизонтальной электрической силы:
F = kq2 (√3) / (3 l2 sin2 α) = kq2 / [(√3) l2 sin2 α].
Теперь рассмотрим шарик в равновесии. На него действуют три силы: горизонтальная электрическая, сила тяжести вниз и сила натяжения нити N→ вдoль нити. Силу натяжения нити можно разбить на две составляющие:
горизонтальную Nx = N sin α
и вертикальную Ny = N cos α.
Горизонтальная составляющая натяжения нити уравновешивается электрической силой, а вертикальная — силой тяжести,
N sin α = F,
N cos α = mg.
Разделим первое уравнение на второе и получим tan α = F / (mg), или
tan α = kq2 / [(√3) l2 (sin2 α) mg].
Или, что то же самое, (tan α) (sin2 α) (√3) l2 mg = kq2.
Соответственно, заряд:
q = l (sin α) √ [(√3) mg (tan α) / k].
Спасибо!