Астрофизический портал | |
|
С какой скоростью должен бежать мальчик, чтобы минимально намочить голову? (9 августа 2013)
PHYSICS ADDICTED - 9 августа, 2013 - 12:59

Источник: последний тур грузинской олимпиады, 9 кл. (перевод).
Ответ: V / cos α.
Помогите, пожалуйста, очень интересно решение.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
Понятно, что количество снега, попавшего в голову, пропорционально относительной скорости снега и времени движения. Поэтому кол-во снега = N = αvотнt. Очевидно, t = AB / u.
Теперь ясно, что исследовать на минимум надо выражение vотн / u. Проще исследовать его квадрат (v2 − (2uv cos α) + u2) / u2. Взяв производную и приравняв её к нулю, найдём правильный ответ: u = v / cos α. Это будет минимум.
Суть задачи в минимизации V→отн/u = (V→ − u→) / u = V→/u − u→/u.
Можно нарисовать эту векторную разность:
Синий вектор имеет фиксированную длину и направление, у красного можем менять длину за счет u.
Разность (черный вектор) минимальна, если ее вектор перпендикулярен красному.
А здесь и до ответа недалеко.
Хотя, т.к. получилась парабола, вычислить ее минимум ничего не стоит... производная совсем не нужна)
v2/u2 − 2v (cos α)/u + 1 — это ведь тоже парабола.
vo = −b/(2a) = u cos α ⇒ u = v/cos α.
Но! по условию задачи v — не переменная, а зафиксированный параметр (скорость дождя).
Переменной величиной, по которой надо минимизировать данную функцию, является u — скорость мальчика.
Производная должна браться по u.
По данному аргументу (u) исследуемая функция — сумма гипербол второго и первого порядка (плюс константа).
Хотя, конечно, в данном конкретном случае можно обозвать отношение (v/u) новой переменной и минимизировать функцию именно по ней.
Тогда да — здесь парабола.
v = v sin α,
также есть условие, мальчик должен минимально намочить голову, а это значит, что проекция v sin α должна быть тоже минимальной, а минииальной она будет, когда скорость снежинок будет минимальна.