Задача 7: смеситель горячей и холодной воды

рисунок«Смеситель». Водопроводный смеситель холодной (T1 = 10 °С) и горячей (T2 = 70 °С) воды состоит из двух одинаковых труб AB и CB, переходящих в удлинитель BD (рис.). Краны K1 и К2 регулируют расход q (т.е. объем воды, проходящий через трубу в единицу времени) и температуру T воды, выходящей из смесителя.

Опыт показывает, что расход воды через трубу AB (или CB) пропорционален разности гидростатических давлений pA и pB на ее концах q = αC(pA − pB), где α — некоторый безразмерный коэффициент «открытия крана», принимающий значение от нуля (кран закрыт) до единицы (кран полностью открыт), а C — некоторый постоянный размерный коэффициент для данной трубы.

Расход воды через удлинитель BD также пропорционален разности давлений жидкости на его концах q = αC(pA − pB) , где po – нормальное атмосферное давление на выходе из трубы в точке D (см. рис.).

Давления в магистралях холодной p1 = pA = 3,0 атм. и горячей p2 = pС = 2,6 атм. труб поддерживаются постоянными. Воду будем считать несжимаемой жидкостью, а потери теплоты при прохождении смесителя — пренебрежимо малыми. Если полностью открыть (α1 =1,0) кран холодной воды при полностью закрытом кране горячей воды, то расход воды будет равен q1 = 1,4 л/с.

  1. Вычислите значение коэффициента C и укажите его размерность.
  2. Найдите расход q2 воды при полном открытии крана с горячей водой (при закрытом втором кране).
  3. Вычислите расход воды q3 и ее температуру T3 в случае, когда два крана открыть полностью (α1 = α2 =1,0).
  4. Найдите расход воды q4 и ее температуру T4, в случае, когда один кран холодной воды открыт на α1 = 0,30, а кран горячей — на α2 = 0,70.
  5. В «час пик» при большом количестве пользователей давление p2 в магистрали горячей воды может значительно упасть. При каком давлении pmin подача горячей воды в смеситель полностью прекратится, если кран холодной воды открыт на α1 = 0,30, а кран горячей — на α2 = 0,70?



Решение:

1) Для вычисления значения C рассмотрим процесс вытекания холодной воды при полностью открытом кране. При течении несжимаемой жидкости ее расход для обеих трубок должен быть один и тот же qAB = qBD. Это будет возможно в том случае, если в точке B трубки установится некоторое «самосогласованное» давление pB, обеспечивающее прокачку соответствующего потока жидкости через каждую из трубок. Математически можем записать это условие в виде системы уравнений:

qAB = C(pA − pB) = qBD = C(pB − po).     (1)
Из (1) находим:
pB = pA + po= 2 атм.
2 
Соответственно, для расхода воды в этом случае получим:
qAB = C(pA − pB),     C = q1.     (2)
pA − pB
Подставим численные значения:
C = 1,4= 1,4×10−8м3.
(3 − 2)×105c × Па

2) При полном открытии крана с горячей водой можно повторить рассуждения предыдущего пункта с той лишь разницей, что давление в магистрали равно pC:

qCB = C(pC − pB) = qBD = C(pB − po)
и
pB = pC + po= 1,8 атм.
2 
Тогда расход горячей воды:
qCB = q2 = C(pC − pB) = 1,4 × (2,6 − 1,8) = 1,12 л/с.

3) При полном открытия двух кранов в точке B системы должно установиться давление pB, «обеспечивающее» прокачку через удлинитель BD суммарного потока q3, образованного слиянием двух (холодного q1 и горячего q2) потоков из труб AB и CB. Соответственно, в этом случае справедлива система уравнений (3):

q1 = C(pA − pB);           (3-1)
q2 = C(pC − pB);           (3-2)
q3 = q1 + q2 = C(pB − po).         (3-3)
Решение системы уравнений (3) дает следующие результаты:
pB = pA + pC + po= 3 + 2,6 + 1= 2,2 атм.
33 
Расход холодной воды:
q1 = 1,4 × (3 − 2,2) = 1,12 л/с,
расход горячей воды, соответственно, равен:
q2 = 1,4 ×(2,6 − 2,2) = 0,56 л/с.
Общий расход воды:
q3 = 1,12 + 0,56 = 1,68 л/с.
Как видим из полученных результатов, расход горячей воды почти в два раза меньше расхода холодной воды. Это приводит к своеобразному эффекту «закупоривания» трубы с горячей водой и, соответственно, падению ее расхода. С этой точки зрения можно заметить, что сильный перепад давлений в магистралях не желателен. Поскольку в смесителе потери теплоты практически отсутствуют (жидкости протекают через него достаточно быстро), то из уравнения теплового баланса получим:
cm1(T − T1) = cm2(T2 − T),
где T — искомая температура на выходе из смесителя, c — удельная теплоемкость воды.

Т. к. вода практически несжимаема, то можно считать, что ее плотность ρ в обеих магистралях одинакова. В этом случае:

m1 = ρV = ρq1t
и
m2 = ρV = ρq2t,
тогда:
q1(T − T1) = q2(T2 − T)
и
T = q1T1 + q2T2= 1,12×10 + 0,56×70= 30 °C.
q1 + q21,68

4) При различном открывании кранов система уравнений (4) примет вид:

q1 = α1C(pA − pB),       (4-1)
q2 = α2C(pC − pB),       (4-2)
q4 = q1 + q2 = C(pB − po).       (4-3)
Соответственно, ее решение даст следующие результаты:
pB = α1pA + α2pB + po= 1,86 (атм.).
1 + α1 + α2
Расход холодной воды:
q1 = 0,30 × 1,4 × (3 − 1,86) = 1,204 (л/с).
Температуру воды на выходе из смесителей найдем с помощью выражения:
T = q1T1 + q2T2= 0,4788 × 10 + 0,7252 × 70= 46,14 (°C).
q1 + q21,204

Примечание: если в качестве предельного перехода положить α1 = α2 = 1, то получим результат в задании 3).
Таким образом, с помощью кранов мы можем регулировать температуру воды от полностью холодной (T1 = 10 °C, α1 = 1,0, α2 = 0,0) до полностью горячей (T2 = 70 °C, α1 = 0,0, α2 = 1,0)

5) Интересно, что при некоторых давлениях pA и pB в магистралях и коэффициентах α1 и α2 поток горячей воды может обратиться в нуль. При этом в кран с горячей водой будет «закачиваться» холодная вода, поскольку давление там меньше. Так, иногда, принимая душ, можно почувствовать, что вода стала прохладнее после того, как в соседней кабинке кто-то откроет кран с горячей водой. Для вычисления минимального давления приравняем к нулю расход горячей воды:

q2 = α2C(pC − pB) = 0,     pC = pB.
pmin = α1 + α2pmin + po,
1 + α1 + α2
здесь сделана замена:
pC = pB = pmin.
Решим это уравнение:
pmin + pminα1 + pminα2 = α1pA + α2pmin + po
и
pmin = α1pA + po,
1 + α1
pmin = 0,30 × 3 + 1= 1,46 (атм.).
1 + 0,3
Интересно, что эффект «побочной тяги» не зависит от коэффициента α2 открытия крана с горячей водой. Это вполне можно понять, поскольку независимо от размера отверстия сплошная среда (жидкость или газ) всегда устремляется в область пониженного давления.


[тема: многоступенчатые задачи]



Комментарии

q = wV,

где V = √(2gh),

где h = p/?,   а не ?C (pA − pB),

смотрите решение задачи Как рассчитать давление воды в водопроводном кране? (18 октября 2008), у меня пока нет времени выполнить расчёты. Но, может, найдётся кто-либо заинтересованный да и проверит. И не только аналитически, но и с манометром.

В. Маркуц, 6.12.2012 0:04.