Задача 4: шарик двигается на поверхности собирающей линзы

Небольшому шарику, который находился на поверхности горизонтально расположенной тонкой собирающей линзы с оптической силой D = 0,5 дптр, сообщили вертикальную начальную скорость vo = 10 м/с.
  • Сколько времени будет существовать действительное изображение шарика в этой линзе?
  • Сколько времени будет существовать мнимое изображение шарика в этой линзе до первого отскока?
  • Сколько времени будет существовать действительное изображение в линзе, если при ударе о линзу шарик теряет 25% от своей первоначальной скорости?
  • Сколько времени будет существовать мнимое изображение в линзе, если при ударе о линзу шарик теряет 25% от своей первоначальной скорости?



Решение:

1. Действительное изображение шарика будет существовать, когда шарик находится выше фокальной плоскости линзы. Максимальная высота подъема шарика H равна:

H =vo2.
 2g 
Время полета шарика над фокальной плоскостью можно найти из уравнения:
H − F = g • (t/2)2.
2
где F = 1/D – фокусное расстояние линзы. Отсюда:
t = 2√2(H − F)= 2 vo√(1 −  2g ) = 1,5 c.
ggvo2• D

2. Мнимое изображение шарика будет существовать в случае движения шарика под фокальной плоскостью, так как F = 1/D = 1/0,5 = 2 м. Высота подъема:

H = 102= 5 м.
20
Время, за которое шарик достигнет фокальной плоскости найдем, используя метод от противного. Допустим, что шарик находится уже в верхней точке. До фокальной плоскости он опустится за время:
t = √2(H − h) = √2(5 − 2)= 0,77 c.
g10
До максимальной точки своего подъема:
t = vo= 1 c.
g
Следовательно, до фокальной плоскости шарик долетит за 0,23 с. При обратном своем движении еще 0,23 с он будет лететь до линзы. Время, в течение которого будет наблюдаться мнимое изображение, равно 2×0,23 с = 0,46 с.

3. После первого отскока скорость шарика станет равной 7,5 м/с и высота подъема составит:

H = v12= 2.8 м,
 2g 
что выше фокальной плоскости (F = 2 м). После второго отскока скорость у шарика 5,625 м/с и высота подъема:
H = v22= 1.58 м,
 2g 
Это означает, что тело находится над фокальной плоскостью только после первого отскока. После второго отскока тело не долетает до фокальной плоскости. Время действительного изображения до первого отскока будет равно:
 t1 = 2√2(H − F) = 2 vo√(1 − 2g) ≅ 1,5 c
ggvo2D
и до второго отскока:
t2 = 2√2(H1 − F)= 2√2(2,8 − 2)= 0,8 c.
g10
Тогда:
t = t1 + t2 = 2,3 c.

4. Определим время до момента остановки шарика:

t = 2 •vo   — до первого удара,
g 
t1 = 2•kvo   — до второго удара,
g 
t2 = 2 •k2vo — до третьего удара и т. д., где k = 0,75.
 g 
Тогда время до полной остановки:
t = 2vo+ 2kvo+ 2k2vo+ ... + 2knvo+ ... = 2vo(1 + k + k2 + ... + kn + ...).
 g gggg
Для нахождения времени воспользуемся формулой геометрической прогрессии:
t =2vo/g= 8 c.
1 − k
Окончательно время, в течение которого наблюдается мнимое изображение равно разности всего времени полета шарика и его действительного изображения: 8 с – 2,3 с = 5,7 с.


Далее: предмет на краю стола   [тема: многоступенчатые задачи]


Теги: