Маленький шарик подвешен к балке на тонкой невесомой нити длиной
l = 10 см.
- Какую минимальную скорость необходимо сообщить шарику, чтобы он смог сделать оборот в вертикальной плоскости?
- Через какое минимальное время шарик сможет удариться о горизонтальную балку при сообщении ему минимальной скорости?
- В какой точке произойдет уход со своей траектории шарика, если сообщенная скорость в нижней точке будет в два раза меньше минимальной?
- Какую наименьшую скорость vo необходимо сообщить шарику в горизонтальном направлении, чтобы он ударился о кронштейн в точке подвеса?
Решение:
1. Запишем закон сохранения энергии для нижней точки маятника, выбрав ее в качестве нулевого уровня:
где
v1 — минимальная скорость в верхней точке траектории. Скорость
v1 найдем из условия равенства нулю силы натяжения нити:
Тогда:
Решая последнее уравнение относительно искомой скорости, найдем:
2. Минимальное время будет в том случае, если скорость шарику сообщить в вертикальном направлении. Запишем уравнение высоты:
Когда шарик ударится о точку подвеса (балку), то координата его будет равна длине нити:
или
Получили квадратное уравнение относительно искомого времени
t. Его корни:
Два корня вполне объяснимы: первый — при движении вверх (минимальное время), второй — при движении обратно (если убрать помеху). Нам нужен корень с минимальным значением, следовательно:
3. Запишем закон сохранения энергии для шарика в точке схода с траектории:
где угол
α — угол между вертикалью и нитью в исследуемый момент времени. Для положения шарика, когда сила натяжения нити становится равной нулю, имеем:
Выразим скорость
v12 = −gl cos α
и подставим в закон сохранения:
Выразим из последнего уравнения
cos α:
Учтем, что:
Тогда:
или
или
Комментарий: казалось бы, угол найден и ответ очевиден, при угле с вертикалью в 75,5° шарик сойдет с траектории, но условие T = 0 оказалось не достаточным. Так что ответ на этот вопрос таков: шарик не сойдет со своей траектории движения и за счет возвращающей силы будет двигаться к положению равновесия. Подумайте сами и найдите необходимое условие для схода шарика с траектории движения.
4. Для положения шарика, когда сила натяжения нити становится равной нулю, имеем:
здесь
m — масса шарика. Запишем закон сохранения энергии для этой же точки:
Из (1) и (2) получаем:
Далее до точки подвеса шарик летит по параболе:
Тогда:
Приравнивая друг другу эти выражения и учитывая, что:
получаем:
Решая уравнение (3), находим:
Далее: лодка переплывает реку [тема: многоступенчатые задачи]