Задача 5: продолжительность года при уменьшении Солнечной системы

Если бы все линейные размеры Солнечной системы были пропорционально сокращены так, чтобы среднее расстояние между Солнцем и Землей стало 1 м, то какова была бы продолжительность одного года? Считайте, что плотность небесных тел при этом не меняется.



Решение:

Пусть G — гравитационная постоянная,
T — период обращения Земли вокруг Солнца,
w — угловая скорость,
m и M — масса Земли и Солнца,
r — расстояние между их центрами.

Будем также считать, что m << M и что Земля вращается вокруг центра Солнца. Тогда можем записать уравнение движения Земли:

G mM = mw2r = m()2r.
r2T
Разделим левую и правую части этого выражения на m и выразим массу Солнца через его радиус R и плотность ρ. Тогда предыдущее выражение будет иметь вид:
G4πρR3= ()2r.
3r2T
Отсюда получаем формулу для периода обращения любого малого тела вокруг массивного тела:
T = √((r)3).
R
Это выражение показывает, что период обращения планеты зависит только от плотности звезды и от отношения расстояния между космическими телами к радиусу притягивающей звезды. Следовательно, продолжительность года не изменится.

Примечание. Этот же результат можно получить, используя третий закон Кеплера, который записывается в виде:

T2= ,
a3GM
где a — большая полуось эллиптической орбиты. Если массу Солнца выразить через его среднюю плотность, то станет ясно, что пропорциональное уменьшение линейных размеров не изменит период планет на эллиптических орбитах.


Далее: увеличенный подъемный кран   [тема: задачи - модели]