Задача 2: минимальная скорость, чтобы перебросить тело

На горизонтальной плоскости находится цилиндр диаметром D = 20 см. Какую минимальную скорость необходимо сообщить телу, находящемуся на горизонтальной плоскости, чтобы перебросить через цилиндр?

Решение:

Траектория тела — это парабола, которая касается ствола в симметрично расположенных точках B и B^/ на двух сторонах ствола (рис.). Тело удаляется от точки бросания с начальной скоростью v₁ под углом α к горизонту. В точках касания B и B^/ скорость тела v₂ составляет угол β с горизонталью. Выберем угол β в качестве независимой переменной задачи. Тогда в точке B вертикальная составляющая скорости равна:

v2 sin β = gt2,

где t₂ — время полета на участке BC траектории (C — максимальная точка подъема, максимум параболы). Соответствующее горизонтальное перемещение BF равно:

v2t2 cos α = Rsin β.

После перемножения этих двух уравнений получаем:

v22 =	gR	.
	cos β

Закон сохранения энергии при полете между точками A и B дает:

mv12	=	mv22	+ mg(R + R cos β),
2		2

или

v12 = v22 + 2gR(1 + cos β) =	gR	+ 2gR(1 + cos β).
	cos β

Мы получили выражение для начальной скорости в виде:

v12 = 2gR(1 + cos β +	1	).
	2 cos β

и можем вычислить минимальное значение v₁, используя дифференциальное исчисление. Приравняв производную:

d(1 + cos β + 1/(2 cos β))

d β

к нулю, получаем:

cos2 β =	1	.
	2

Таким образом минимальный угол, который дает минимум начальной скорости, равен 45°.

(Второй метод решения.
Имеется и другой метод, который использует неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. В нашем случае можно записать:

1	( cos β +	1	)   ≥   √( cos β	1	) =	√2	,
2		2 cos β		2 cos β		2

так что минимальное значение суммы:

cos β +	1	равно     √2,
	2 cos β

откуда следует, что β = 45°.)

Это и есть угол, под которым тело касается цилиндра при полете в оптимальном случае. Если допустить β = 0 (точка E), то потребуется большая начальная скорость, так как:

cos β +	1	= 1.5   >   √2.
	2 cos β

Из этого следует, что траектория с минимальной начальной скоростью не касается ствола в его самой высокой точке (точка E). Гравитационная потенциальная энергия тела больше на пике параболы, чем в высшей точке цилиндра, но его кинетическая энергия и полная энергия меньше, чем они были бы для траектории, касающейся вершины.

Таким образом, минимальная начальная скорость тела равна:

v1min = √(2gR(1 + √2)) ≈ 2.175 м/с.

Примечания:

а) Можно показать, что часть параболической траектории над точкой B не пересекает ствол.

б) Довольно легко определить также угол начального броска и расстояния AD.
Расчеты дают:

α ≥	3 π	= 67.5°,
	8

AD = R(1 +	√2	) ≈ 17 см.
	2

в) Обратите внимание на то, что точка F является фокусом параболы.

г) Минимальная скорость тела, если оно, перелетая цилиндр, все же касается в верхней точке траектории вершины, может быть найдена из следующих соображений.

Воспользуемся законом сохранения энергии для точки E:

mv12	=	mvx2	+ mg2R,
2		2

Нормальное ускорение тела в верхней точке траектории:

an =	vx2	= g cos α1,
	R1

где α₁ — угол между вектором скорости тела в точке траектории и горизонталью, радиус кривизны в данной точке. Для верхней точки α₁ = 0 и R₁ = R, тогда: v_x² = gR. Сделаем подстановку в закон сохранения для верхней точки:

v12 = 5gR,

v1 = √(5gR).

После вычислений:

v1 = √(5 × 9.8 × 0.1) ≈ 2.214 (м/с).

Как видим: v₁ > v_{1 min}.

Далее: максимальная дальность полета камня   [тема: задачи на минимум и максимум] Работает на CMS Drupal.

---