Задача 3: максимальная дальность полета камня

Максимальная дальность полета камня, выпущенного из неподвижной катапульты, равна S = 22,5 м. Найдите максимально возможную дальность полета камня, выпущенного из этой же катапульты, установленной на платформе, которая движется горизонтально с постоянной скоростью v = 15,0 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения считать g = 10,0 м/с2.



Решение:

Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном 45° и определяется формулой:
S =vo2.       (1)
 g 
Из этой формулы можно найти скорость, которую катапульта сообщает камню:
vo = √(gS) = 15 м/с.

рисунокРассмотрим теперь полет камня, выпущенного из движущейся катапульты. Введем систему координат, оси которой: X — направлена горизонтально, а Y — вертикально. Начало координат совместим с положением катапульты в момент вылета камня.

Для вычисления вектора скорости камня необходимо учесть горизонтальную скорость движения катапульты v = vo. Допустим, что катапульта выбрасывает камень под углом α к горизонту. Тогда компоненты начальной скорости камня в нашей системе координат могут быть записаны в виде:

vxo = vo + vo cos α,
vyo = vosin α.       (2)
Закон движения камня имеет вид:
x = vxo = vo(1 + cos α)t,
y = vyot − gt2= vot sin α − gt2.       (3)
22 
Из второго уравнения системы (3) найдем время полета, положив y = 0,
τ = 2vo sin α.       (4)
g
Подставив это выражение в первое уравнение системы (3), получим дальность полета камня:
S1 = vo(1 + cos α)2vo sin α.       (5)
g 
Отвлечемся немного от решения данной конкретной задачи и порассуждаем о полученном выражении.

Во-первых, если катапульта неподвижна (v = 0), то формула (5) переходит в известное выражение для дальности полета тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту:

S/ = 2vo2 sin α cos α.       (6)
g

Во-вторых, из (5) совсем не следует, что S1 будет максимально при α = 45° (это справедливо для (6), когда v = 0).


Предлагая эту задачу на республиканскую олимпиаду, авторы были убеждены, что девять десятых участников получат формулу (5) и затем подставят в нее значение α = 45°. Однако, к нашему сожалению, мы ошиблись: ни один из олимпийцев не усомнился в том, что максимальная дальность полета всегда (!) достигается при угле вылета, равном 45°. Этот широко известный факт имеет ограниченные рамки применимости: он справедлив только, если:

а) не учитывать сопротивление воздуха;
б) точка вылета и точка падения находятся на одном уровне;
в) метательный снаряд неподвижен.

Вернемся к решению задачи. Итак, нам необходимо найти значение угла α, при котором S1 определяемое формулой (5), максимально. Можно, конечно, найти экстремум функции, используя аппарат дифференциального исчисления: найти производную, положить ее равной нулю и, решив полученное уравнение, найти искомое значение α. Однако, учитывая, что задача была предложена ученикам 9-х классов, мы дадим ее геометрическое решение. Воспользуемся тем обстоятельством, что v = vo = 15 м/с.

рисунокРасположим векторы v и vo как показано на рис. Так как их длины равны, то вокруг них можно описать окружность с центром в точке О. Тогда длина отрезка AC равна vo + vocos α (это есть vxo ), а длина отрезка BC равна vo sin α (это vyo). Их произведение равно удвоенной площади треугольника АВС, или площади треугольника АВВ1.

Обратите внимание, что именно произведение входит в выражение для дальности полета (5). Иными словами, дальность полета равна произведению площади ΔАВВ1 на постоянный множитель 2/g.

А теперь зададимся вопросом: какой из вписанных в данную окружность треугольников имеет максимальную площадь? Естественно, правильный! Поэтому искомое значение угла α = 60°.

Вектор AB есть вектор полной начальной скорости камня, он направлен под углом 30° к горизонту (опять же отнюдь не 45°).

Таким образом, окончательное решение задачи следует из формулы (5), в которую следует подставить α = 60°.

S1 = 2vo2(1 + cos 60°) sin 60° = S3√3= 58.5 м.
 g 2


Далее: максимальная дальность полета шайбы   [тема: задачи на минимум и максимум]


Теги:

Комментарии

Опубликовано 7 января, 2013 - 16:50 пользователем VIL
А почему бы не перейти в движущуюся систему отсчета, затем найти время нахождения тела в воздухе, и это время умножить на скорость движения начала системы отсчета и прибавить к дальности. Вроде нет ошибок в рассуждении (релятивистским эффектом пренебрегаем) и решение проще, хотя я в предложенном пока не разобрался.
Опубликовано 7 января, 2013 - 16:53 пользователем В. Грабцевич
Пишите свое решение в формулах.
Опубликовано 7 января, 2013 - 17:00 пользователем VIL
Решил своим способом. Получилось 54.3 м. Попробую еще.
Опубликовано 7 января, 2013 - 17:40 пользователем VIL
1. Из формулы S = V2/g находим скорость камня, с которой он вылетает из катапульты. V = 15 м/с.

2. Переходим в систему отсчета катапульты, координата начала отсчета которой относительно неподвижной системы отсчета описывается уравнением:

x = vсис-мыt.

3. В системе отсчета катапульты, очевидно, камень будет двигаться по обычной траектории в системе координат, которая описывается уравнениями:

x = v (cos α) t,     (1)

y = v sin α − gt2/2.     (2)

Из (1) выражаем:

t = x / (v cos α).

В нашем случае х — длина траектории, cos α = (√2)/2, ну а v мы нашли в первом пункте. Отсюда t = 2.12 с. Это время, в течение которого тело находилось в воздухе и, следовательно, в течение этого же времени со своей же скоростью двигалась движущаяся сис-ма координат.

4. Найдем расстояние, которое прошла точка начала координат системы отсчета катапульты относительно неподвижной системы отсчета.

x = vсис-мыt = 31,82 м.

5. Возвращаясь в неподвижную СО, найдем координату камня:

x = 22.5 + 31.82 = 54,3 м.

6. Поиск ошибки предоставляется читателю комментария, т.к. сам автор с этой задачей не справился.

Опубликовано 7 января, 2013 - 19:14 пользователем В. Грабцевич
Вы вчитывались в решение задачи? Поняли его? Дальность полета камня, выпущенного с подвижной катапульты, достигается не при угле в 45°. Вы берете cos α = √{2} / 2. Основание? Изучите последнюю часть решения задачи (геометрическое толкование).
Опубликовано 7 января, 2013 - 20:13 пользователем VIL
Не 45 градусов в неподвижной системе отсчета, где тело движется. Я же перешел в подвижную систему отсчета, где катапульта неподвижна, что следовательно, в этой СО дальность будет, как у неподвижной катапульты, то бишь, камень в этой СО будет брошен под углом в сорок пять градусов. Понятно, что если и эту СО пустить с какой-либо скоростью или ускорением, угол будет точно не сорок пять. Однако ж, я перешел в СО неподвижную, соблюдая все правила перехода. Затем нашел время, в течение которого происходил процесс в данной системе отсчета. Так как при малых скоростях можно считать время абсолютным, как для движущихся, так и для покоящихся, то в движущейся СО процесс происходит за тот же промежуток времени, что и процесс в покоящейся СО. Т. е. пока в движущейся СО камень падал на землю, эта самая система отсчета переместилась относительно неподвижной СО на расстояние = (скорость системы отсчета) × (время действия). Лично я ошибок в рассуждении не нахожу, однако ответы разные. Решение, предложенное на сайте, правильно (в нем я разобрался), однако моим способом, где не находится ошибка, дается другой результат. Я ошибки не нахожу. И Ваше замечание я пояснил, я сначала рассмотрел действие относительно СО, в которой катапульта покоится, затем преобразованиями Галилея перенес результаты опять в СО, где катапульта движется.
Опубликовано 7 января, 2013 - 20:50 пользователем В. Грабцевич
3. В системе отсчета катапульты, очевидно, камень будет двигаться по обычной траектории в системе координат, которая описывается уравнениями:

x = v (cos α) t,     (1)

y = v sin α − gt2/2.     (2)

какую скорость v здесь Вы берете (в СО связанной с катапультой)?


В нашем случае х — длина траектории,

x — это не длина траектории.


Это время, в течение которого тело находилось в воздухе и, следовательно, в течение этого же времени со своей же скоростью двигалась движущаяся сис-ма координат.

Время, найденное Вами, связано со скоростью v, какой?


6. Поиск ошибки предоставляется читателю комментария, т.к. сам автор с этой задачей не справился.

Вы перешли в систему отсчета, связанную с катапультой, в этой системе отсчета камень будет иметь еще и скорость катапульты, Вы это как-то учитываете?

Опубликовано 7 января, 2013 - 21:37 пользователем VIL

1. (По 3-ему) v — скорость вылета камня относительно катапульты, она всегда одинакова.

2. (По х — длина траектории)

Согласен, в данном случае x является одновременно и перемещением, и дальностью полета, но и все же в записи подразумевалось, что это дальность, а не длина траектории.

3. (По времени) Найденное время — это то время, в течение которого происходил процесс вообще. Как в одной СО, так и в другой.

4. (По поводу ошибки) При переходе в СО катапульты катапульта останавливается, так что, следовательно, камень в этой СО будет иметь только ту скорость, которую ему дает катапульта.

Опубликовано 7 января, 2013 - 22:18 пользователем В. Грабцевич
При переходе в СО катапульты катапульта останавливается, так что, следовательно, камень в этой СО будет иметь только ту скорость, которую ему дает катапульта.

Итак, перейдя в систему отсчета "катапульта", камень имеет горизонтальную скорость катапульты и + еще и скорость, найденную Вами, — 15 м/с в проекции на горизонтальную ось.

Если Вы сложите два вектора — скорости тела и тележки, то как раз и получите вектор скорости полета камня. Смотрите рисунок к решению задачи.

По горизонтали камень имеет скорость vx = vo cos α + vo, где угол α = 60°. По вертикали камень летит с начальной вертикальной скоростью vo sin α.

Время полета камня:

t = 2vo (sin α ) / g.

Дальность полета:

S = vxt = vo(cos α + 1) 2vo (sin α) / g.

Последний вопрос к Вам, как Вы определили?

x = vсис-мы t = 31,82 м.

И еще, продифференцируйте (5) и найдите, при каком α дальность полета будет максимальной.

Ваша ошибка в неправильном определении угла бросания и времени полета.