Астрофизический портал | |
|
Задача 3: максимальная дальность полета камня
Максимальная дальность полета камня, выпущенного из неподвижной катапульты, равна S = 22,5 м. Найдите максимально возможную дальность полета камня, выпущенного из этой же катапульты, установленной на платформе, которая движется горизонтально с постоянной скоростью v = 15,0 м/с. Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения считать g = 10,0 м/с2.
Решение:
Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном 45° и определяется формулой:
S = | vo2 | . (1) |
g |
vo = √(gS) = 15 м/с. |
Рассмотрим теперь полет камня, выпущенного из движущейся катапульты. Введем систему координат, оси которой: X — направлена горизонтально, а Y — вертикально. Начало координат совместим с положением катапульты в момент вылета камня.
Для вычисления вектора скорости камня необходимо учесть горизонтальную скорость движения катапульты v = vo. Допустим, что катапульта выбрасывает камень под углом α к горизонту. Тогда компоненты начальной скорости камня в нашей системе координат могут быть записаны в виде:
vxo = vo + vo cos α, |
vyo = vosin α. (2) |
x = vxo = vo(1 + cos α)t, |
y = vyot − | gt2 | = vot sin α − | gt2 | . (3) |
2 | 2 |
τ = | 2vo sin α | . (4) |
g |
S1 = vo(1 + cos α) | 2vo sin α | . (5) |
g |
Во-первых, если катапульта неподвижна (v = 0), то формула (5) переходит в известное выражение для дальности полета тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту:
S/ = | 2vo2 sin α cos α | . (6) |
g |
Во-вторых, из (5) совсем не следует, что S1 будет максимально при α = 45° (это справедливо для (6), когда v = 0).
Предлагая эту задачу на республиканскую олимпиаду, авторы были убеждены, что девять десятых участников получат формулу (5) и затем подставят в нее значение α = 45°. Однако, к нашему сожалению, мы ошиблись: ни один из олимпийцев не усомнился в том, что максимальная дальность полета всегда (!) достигается при угле вылета, равном 45°. Этот широко известный факт имеет ограниченные рамки применимости: он справедлив только, если:
а) не учитывать сопротивление воздуха;
б) точка вылета и точка падения находятся на одном уровне;
в) метательный снаряд неподвижен.
Вернемся к решению задачи. Итак, нам необходимо найти значение угла α, при котором S1 определяемое формулой (5), максимально. Можно, конечно, найти экстремум функции, используя аппарат дифференциального исчисления: найти производную, положить ее равной нулю и, решив полученное уравнение, найти искомое значение α. Однако, учитывая, что задача была предложена ученикам 9-х классов, мы дадим ее геометрическое решение. Воспользуемся тем обстоятельством, что v = vo = 15 м/с.
Расположим векторы v и vo как показано на рис. Так как их длины равны, то вокруг них можно описать окружность с центром в точке О. Тогда длина отрезка AC равна vo + vocos α (это есть vxo ), а длина отрезка BC равна vo sin α (это vyo). Их произведение равно удвоенной площади треугольника АВС, или площади треугольника АВВ1.
Обратите внимание, что именно произведение входит в выражение для дальности полета (5). Иными словами, дальность полета равна произведению площади ΔАВВ1 на постоянный множитель 2/g.
А теперь зададимся вопросом: какой из вписанных в данную окружность треугольников имеет максимальную площадь? Естественно, правильный! Поэтому искомое значение угла α = 60°.
Вектор AB есть вектор полной начальной скорости камня, он направлен под углом 30° к горизонту (опять же отнюдь не 45°).
Таким образом, окончательное решение задачи следует из формулы (5), в которую следует подставить α = 60°.
S1 = | 2vo2 | (1 + cos 60°) sin 60° = S | 3√3 | = 58.5 м. |
g | 2 |
Далее: максимальная дальность полета шайбы [тема: задачи на минимум и максимум]
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
2. Переходим в систему отсчета катапульты, координата начала отсчета которой относительно неподвижной системы отсчета описывается уравнением:
x = vсис-мыt.
3. В системе отсчета катапульты, очевидно, камень будет двигаться по обычной траектории в системе координат, которая описывается уравнениями:
x = v (cos α) t, (1)
y = v sin α − gt2/2. (2)
Из (1) выражаем:
t = x / (v cos α).
В нашем случае х — длина траектории, cos α = (√2)/2, ну а v мы нашли в первом пункте. Отсюда t = 2.12 с. Это время, в течение которого тело находилось в воздухе и, следовательно, в течение этого же времени со своей же скоростью двигалась движущаяся сис-ма координат.
4. Найдем расстояние, которое прошла точка начала координат системы отсчета катапульты относительно неподвижной системы отсчета.
x = vсис-мыt = 31,82 м.
5. Возвращаясь в неподвижную СО, найдем координату камня:
x = 22.5 + 31.82 = 54,3 м.
6. Поиск ошибки предоставляется читателю комментария, т.к. сам автор с этой задачей не справился.
x = v (cos α) t, (1)
y = v sin α − gt2/2. (2)
какую скорость v здесь Вы берете (в СО связанной с катапультой)?
В нашем случае х — длина траектории,
x — это не длина траектории.
Это время, в течение которого тело находилось в воздухе и, следовательно, в течение этого же времени со своей же скоростью двигалась движущаяся сис-ма координат.
Время, найденное Вами, связано со скоростью v, какой?
6. Поиск ошибки предоставляется читателю комментария, т.к. сам автор с этой задачей не справился.
Вы перешли в систему отсчета, связанную с катапультой, в этой системе отсчета камень будет иметь еще и скорость катапульты, Вы это как-то учитываете?
1. (По 3-ему) v — скорость вылета камня относительно катапульты, она всегда одинакова.
2. (По х — длина траектории)
Согласен, в данном случае x является одновременно и перемещением, и дальностью полета, но и все же в записи подразумевалось, что это дальность, а не длина траектории.
3. (По времени) Найденное время — это то время, в течение которого происходил процесс вообще. Как в одной СО, так и в другой.
4. (По поводу ошибки) При переходе в СО катапульты катапульта останавливается, так что, следовательно, камень в этой СО будет иметь только ту скорость, которую ему дает катапульта.
Итак, перейдя в систему отсчета "катапульта", камень имеет горизонтальную скорость катапульты и + еще и скорость, найденную Вами, — 15 м/с в проекции на горизонтальную ось.
Если Вы сложите два вектора — скорости тела и тележки, то как раз и получите вектор скорости полета камня. Смотрите рисунок к решению задачи.
По горизонтали камень имеет скорость vx = vo cos α + vo, где угол α = 60°. По вертикали камень летит с начальной вертикальной скоростью vo sin α.
Время полета камня:
t = 2vo (sin α ) / g.
Дальность полета:
S = vxt = vo(cos α + 1) 2vo (sin α) / g.
Последний вопрос к Вам, как Вы определили?
x = vсис-мы t = 31,82 м.
И еще, продифференцируйте (5) и найдите, при каком α дальность полета будет максимальной.
Ваша ошибка в неправильном определении угла бросания и времени полета.