Задача 6: периоды колебаний маятников в поездах вдоль экватора

Оценить относительные изменения периодов колебаний маятников (T – To)/To, находящихся в поездах, идущих вдоль экватора с запада на восток и с востока на запад по отношению к периоду колебаний маятника To в стоящем поезде.



Решение:

Период колебаний маятника определяется натяжением нити (стержня), то есть весом тела. В связи с вращением Земли вокруг оси и движением поезда вес тела P отличается от mg.

В инерциальной системе отсчета стороннего наблюдателя скорость поезда складывается из линейной скорости вращения Земли wR и скорости поезда относительно Земли v. Обозначим как P+ вес тела при движении поезда с запада на восток, а P− — вес при движении с востока на запад.

Второй закон Ньютона для подвешенного груза (математического маятника) в инерциальной системе отсчета стороннего наблюдателя запишется как:

P± = mg − m(wR ± v)2= mg − mw2R  (−/+)  m2wv − mv2.      (1)
R R
В стоящем поезде:
Po = mg − mw2R.     (2)
Удвоенная линейная скорость вращения Земли на экваторе:
2wR ≈ 4π •6400≈ 1 км/с,
3600 × 24
что в 30 раз превышает скорость скорого поезда v. Поэтому в уравнении (1) можно пренебречь членом:
mv2 по сравнению с m2wv.
R
Периоды колебаний маятника для различных случаев:
T± = 2π√L,
g − w2R  (−/+)  2wv
To = 2π√L.       (3)
g − w2R
Несложно проверить, что относительное изменение периода колебаний будет мало. Поэтому:
T± − To≈T± − To= 1 − To.       (4)
ToT±T±
(в знаменателе для удобства To заменили на T±).
Из (3) получаем:
(To)2 = 1  (−/+)  2wv≈ 1  (−/+)  2wv.       (5)
T±g − w2Rg
В силу малости члена w2R по сравнению с g его отбросили в (5).
Далее из (5):
(To)2 − 1 = (To− 1) • (To+ 1) ≈ 2(To− 1) ≈  (−/+)  2wv.       (6)
T±T±T±T±g
Из-за малого различия периодов колебаний в (6) приближенно положили:
(To) + 1 ≈ 2.
T±
Пусть скорость поезда 30 м/с, g = 10 м/с2.
Тогда из (6):
1 − To≈ ± wV≈ ± 2π× 30≈ ± 5×10−4.
T±g3600×24×10


Далее: масса летающей тарелки   [тема: задачи оценки]


Теги: