Задача 4: "чёрный ящик" со схемой из нескольких одинаковых резисторов

рисунок к задачеВнутри «чёрного ящика» между клеммами включена схема, состоящая из нескольких одинаковых резисторов. Между клеммами 1 и 2 включена батарейка с ЭДС E и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, а между клеммами 3 и 4 — идеальный вольтметр с нулевым делением посередине шкалы (см. рисунок). Если включить такой же резистор, как те, что находятся внутри ящика, между клеммами 1 и 3 или между клеммами 2 и 4, то вольтметр покажет напряжение +U, а если включить этот резистор между клеммами 1 и 4 или между клеммами 2 и 3, то вольтметр покажет напряжение −U. Если резистор не включать, то вольтметр показывает нулевое напряжение. Нарисуйте схему возможных соединений внутри ящика, содержащую минимальное число резисторов, и определите U.

(Задача московской олимпиады 2004 г. 10 класс).


Решение

Путём простого перебора вариантов легко установить, что минимально возможное число резисторов внутри «чёрного ящика» — четыре, и возможны две схемы их соединения.

рисунок1. Мостовая схема (рисунок 1). Рассмотрим, например, случай, когда дополнительный резистор включён между клеммами 2 и 4. При этом между точками 3 и 1 падение напряжения равно E/2, а между точками 4 и 1, очевидно, 2E/3. Поэтому между клеммами 4 и 3 напряжение равно:

U = 2E − 1E = E.
326
Остальные случаи подключения дополнительного резистора рассматриваются аналогично.


2. Схема с общей точкой посередине (рисунок 2). Включим дополнительный резистор R5 = R между точками 2 и 4, как и на первой схеме. В данном случае через резистор R3 и идеальный вольтметр, обладающий бесконечно большим сопротивлением, ток не течёт. Поэтому общее сопротивление цепи, состоящей из резистора R1 = R и подключённой к нему последовательно разветвлённой части цепи, состоящей из резистора R2 = R и соединённого с ним параллельно сопротивления R4 + R5 = 2R, равно:

Rx = R + (1+ 1)−1 = R + 2R = 5R.
R2R33
Поэтому ток, текущий через резистор R1, будет равен:
I1 = E = 3E,
Rx5R
а ток, текущий через резисторы R4 и R5 — втрое меньше:
I4 = I5 = I1= E.
3 5R
Вольтметр показывает падение напряжения на резисторе R4 = R, равное:
U = I4 R = E.
5
Остальные случаи подключения дополнительного резистора рассматриваются аналогично.


Далее: "черный ящик" со схемой из незаряженного конденсатора и резистора   [тема: задачи на "черные ящики"]


Теги: