Задача 3: цепочка соскальзывает с наклонной плоскости

Тонкую цепочку длиной 45 см удерживают за верхний конец на гладкой наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Через какое время после освобождения цепочки она полностью покинет наклонную плоскость, если вначале ее нижний конец находился у края наклонной плоскости?



Решение:

Хотя в этом случае колебания как таковые не возникают, время движения удается определить благодаря тому, что уравнение движения тела такое же, как для гармонических колебаний. Действительно, проекцию на направление движения дает только сила тяжести, действующая на отрезок цепочки длиной x, находящийся в данный момент на наклонной плоскости. Масса этого отрезка:
m1 = mx.
l
Получаем:
−m1g sin α = ma = mx//
или
 x// +  g sin αx = 0.
l
Движение верхнего конца цепочки происходит так же, как движение маятника от точки максимального отклонения к положению равновесия, по закону:
x = l cos (wt)
Движение до точки x = 0 займет время:
t =T= πl= 471 мс.
42g sin α


Далее: автомобиль и звуковой сигнал   [тема: метод аналогии]



Комментарии

Во втором уравнении слева стоит сила, действующая на кусочек цепи, а справа — произведение массы всей цепи на ускорение цепи. Если ускорения каждого звена и всей цепи одинаковы, это еще не значит, что можно так записывать второй закон Ньютона. Он может быть применён только к одной точке — звену цепи.

Второе — в момент перехода каждого из звеньев на горизонтальный участок (подразумевается, что он горизонтален?) звено испытывает удар, в результате чего направление скорости изменяется (было под углом — стало горизонтально). Это явно будет влиять на движение той цепи, что ещё осталась на наклонной плоскости.

Так что

  1. используемая модель неверна,
  2. не учитывается удар при переходе на горизонтальную поверхность.