Задача 1: человек идет через лес и болото

Человек идет из поселка A в поселок B. При этом первую часть пути он движется по лесу со скоростью u, а вторую — по болоту со скоростью v. Как должен двигаться человек, чтобы добраться из A в B за минимальное время? Граница раздела "лес - болото" — прямая.

Решение:

1-й способ.

Рассмотрим решение задачи методом min и max. Для этого обозначим точку O на границе "лес - болото" (рис. 1).

Пусть расстояние AA₁ = a, BB₁ = b и A₁B₁ = d заданы, а расстояние A₁O = x. Тогда время движения из A в B будет функцией x:

tAB =	√(a2 + x2)	+	√(b2 + (d − x)2)	.
	u		v

Для нахождения минимума t_AB найдем производную:

dt

dx

и приравняем ее к нулю:

(tAB)/ =	x	−	x	= 0.
	u√(a2 + x2)		v√(b2 + (d − x)2)

Следует заметить, что:

x	= sin α,
√(a2 + x2)

x	= sin β.
√(b2 + (d − x)2)

Тогда:

sin α	−	sin β	= 0
u		v

и

1	sin α =	1	sin β.
u		v

2-й способ.

Рассмотрим оптическую аналогию. Пусть свет из одной среды (точка A) попадает в другую (точка B). Из всех возможных путей свет изберет тот, на прохождение которого необходимо минимальное время. Это утверждение носит название принципа Ферма и является законом геометрической оптики. Поэтому:

1	sin α =	1	sin β.
u		v

здесь α — угол падения, а β — угол преломления.

3-й способ.

Рассмотрим следующую механическую аналогию. Пусть кольцо скользит по гладкому стержню (рис. 2). К кольцу привязаны две нити, перекинутые через блоки. К нитям приложены силы F₁ и F₂. Пусть силы:

F1 =	1	,
	u

F2 =	1	.
	v

Если кольца находятся в равновесии, то горизонтальные составляющие сил F₁ и F₂ равны:

1	sin α =	1	sin β.
u		v

Далее: брусок скользит по столу   [тема: метод аналогии]

---