Задача 1: человек идет через лес и болото

Человек идет из поселка A в поселок B. При этом первую часть пути он движется по лесу со скоростью u, а вторую — по болоту со скоростью v. Как должен двигаться человек, чтобы добраться из A в B за минимальное время? Граница раздела "лес - болото" — прямая.



Решение:


1-й способ.

рисунок 1 Рассмотрим решение задачи методом min и max. Для этого обозначим точку O на границе "лес - болото" (рис. 1).

Пусть расстояние AA1 = a, BB1 = b и A1B1 = d заданы, а расстояние A1O = x. Тогда время движения из A в B будет функцией x:

tAB = √(a2 + x2)+ √(b2 + (d − x)2).
u v
Для нахождения минимума tAB найдем производную:
dt
dx
и приравняем ее к нулю:
(tAB)/ = x x= 0.
u√(a2 + x2)v√(b2 + (d − x)2)
Следует заметить, что:
x  = sin α,
√(a2 + x2)
x = sin β.
√(b2 + (d − x)2)
Тогда:
sin αsin β= 0
uv
и
1sin α = 1sin β.
uv


2-й способ.

Рассмотрим оптическую аналогию. Пусть свет из одной среды (точка A) попадает в другую (точка B). Из всех возможных путей свет изберет тот, на прохождение которого необходимо минимальное время. Это утверждение носит название принципа Ферма и является законом геометрической оптики. Поэтому:

1sin α = 1sin β.
uv
здесь α — угол падения, а β — угол преломления.



3-й способ.

рисунок 2 Рассмотрим следующую механическую аналогию. Пусть кольцо скользит по гладкому стержню (рис. 2). К кольцу привязаны две нити, перекинутые через блоки. К нитям приложены силы F1 и F2. Пусть силы:

F1 = 1,
u
F2 = 1.
v
Если кольца находятся в равновесии, то горизонтальные составляющие сил F1 и F2 равны:
1sin α = 1sin β.
uv


Далее: брусок скользит по столу   [тема: метод аналогии]