Астрофизический портал | |
|
ВУЗ. Найти силу взаимодействия стержня и точечного заряда (14.10.2010)
daranton - 14 октября, 2010 - 23:51
На продолжении оси тонкого прямого стержня, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда 400 нКл/см, на расстоянии 30 см от конца стержня находится точечный заряд 20 мкКл. Второй конец стержня уходит в бесконечность. Определить силу взаимодействия стержня и точечного заряда.
СЗТУ, 2006 год, методичка. Задача 302.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
Напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, это значит, что в каждой точке стержня заряд — одинаковый и формулу, которую я знаю для этого:
E→ — это вектор и направлен вдоль линий действия сил электростатического поля.
Е→ = модулю |?| — это задано в условии (400) и делить на 2??o,
где ? — поверхностная плотность заряда (заряд одной единицы площади сечения стержня), ? — относительная диэлектрическая проницаемость среды (величина табличная), ?o — электрическая постоянная (?o = 8,85 × 10−12 Ф/м).
Если что-то упустил или в чём-то неправ, а как перейти к интегралу, понятия не имею и формулы такой не знаю, может быть и знаю, только не догадываюсь, так как плохо понимаю условие задачи...
? = 400 нКл/см = 400 × 10−9 / 10−2 Кл/м.
r = 30 см = 30 × 10−2 м.
q = 20 мкКл = 20 × 10−6 Кл.
?o = 8,85 × 10−12 Ф/м.
F с индексом Кулона = ?
Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределённого по стержню, к длине стержня (цилиндра):
? = Δq / Δl.
Это всё, что мне известно...
Но попробую её дорешать до конца и вот что я подумал:
E = ? / (2???or) = F/q ⇒ F = ?
Я сделал такой вывод на основании того, что стержень равномерно заряжен по всей длине и поэтому напряжённости E1→ = E2→ = E→... потому, что каждый заряд создаёт свое поле, не зависящее от присутствия других зарядов.
где dq = τdx.
Интегрируйте в пределах от x = l до x = ∞.
где τ − линейная плотность заряда.
1) Так как заряженный стержень не является точечным зарядом, то закон Кулона непосредственно применить нельзя.
2) Разобьём стержень на малые элементы и выделим на стержне элемент dr с зарядом dq = φdr.
3) Этот заряд можно рассматривать как точечный.
4) Тогда по закону Кулона:
dF = (1 / (4πεo)) q1dq / (εr2) = (1 / (4πεo)) q1τdr / (εr2). (1)
5) Так как силы dF взаимодействия заряда q1 и зарядов dq на разных элементах стержня направлены в одну сторону, то геометрическую сумму сил можно заменить алгебраической.
6) Силу взаимодействия точечного заряда и стержня найдём интегрированием выражения (1):
F = (1 / (4πεo)) (q1τ / ε) aa+l∫dr/r2 = = (q1τ) / (4πεεo) (1/a − 1/(a + l)) = q1τl / (4πεεo (a + l) a).
7) Проверим, даёт ли расчётная формула единицу силы.
8) Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подставим их единицы измерений: получается Ньютон.
9) Произведём вычисления с учётом того, что 1/(4πεo) = 9 × 109 м/Ф.
10) F = 9 × 109 × 20 × 10−6 × 400 × 10−7 × 30 × 10−2 / (1 (30 × 10−2 + 30 × 10−2) 30 × 10−2).
сначала подставляется верхняя граница, потом нижняя.
Второй конец стержня уходит в бесконечность (условие задачи) − а у вас l конечная?
Есть же верхний предел (a + l), а есть — нижний (a).
...Второй конец стержня уходит в бесконечность...
Где здесь верхний предел? Какая длина у стержня?
l = бесконечности, так как стержень бесконечен по условию a = 30 см = 30 × 10−2 м, так как на расстоянии 30 см от ближайшего конца стержня находится точечный заряд, по условию задано.
Если я ошибся, напишите, пожалуйста, как нужно правильно, запутался. Спасибо!
где dq = τdx.
Тогда:
dF = kqτdx/x2,
F = ∫kqτdx/x2 = kqτ∫dx/x2.
Окончательно
F = −kqτ/x|aa + l,
где l стремится к ∞ (условие задачи).
Подставляем пределы:
F = −(kqτ/(a + ∞) − kqτ/a) = kqτ/a.
Учтено, что kqτ / (a + ∞) = 0.
Теперь Вы поправляйте меня.
F = (1 / (4??o)) (q1? / ?) aa+l?dr/r2 = = (q1?) / (4???o) (1/a − 1/(a + l)) = q1?l / (4???o (a + l) a).
Вам не кажется, что это одно и то же???
Если нет, то объясните, пожалуйста, почему?
Моя: F = kqτ/a = qτ/4πεoa.
Если в Вашу формулу вместо l подставить ∞, то получите ∞/∞ = ?
Но, интересно, в теории пределов lim {∞/∞} чему равно?
2. Теперь вернемся к Вашим вычислениям:
Вы подставляете в конечное выражение числа, а где замена l на бесконечное большое?
Почему у Вас минус после первого знака равно, там ведь должен быть плюс, ведь по формулу Ньютона-Лейбница ищем пределы?
∫r−2dr = −r−2+1/−2+1 = −r−1 = −1/r.
Вы подставляете в конечное выражение числа, а где замена l на бесконечное большое?
И как делается замена l на бесконечно большое???
У меня получился ответ F = 24 Ньютон