5.2 Относительное движение. Движение со связями: задачи с ответами

(Все задачи по кинематике и ответы к ним находятся также в zip-архиве (332 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить все задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

5.21.   Из двух точек, расположенных на одной высоте и на расстоянии L друг от друга, одновременно бросают два тела: одно вертикально вверх со скоростью v₁; другое горизонтально со скоростью v₂ в направлении первого тела. Найти наименьшее расстоянии между телами.

Ответ к задаче 5.21:    dmin =	Lv1	.
	√(v12 + 22)

5.22.   Из точки B бросают камень в горизонтальном направлении BC с начальной скоростью v_o = 10 м/с. Одновременно из точки A, лежащей на 10 м выше горизонтали BC начинает свободно падать второй камень (рисунок слева). Через какое время расстояние между камнями будет минимальным и чему оно равно? Расстояние BC = 10 м.   [1 c; 10 м]

5.23.   Из одной и той же точки одновременно бросают два камня с одинаковыми начальными скоростями v_o = 10 м/с: один — вертикально вверх, другой — под углом α = 30° к горизонту. Определить расстояние между камнями через t = 2 с после броска.   [20 м]

5.24.   По грязной дороге едут друг за другом две машины со скоростью v. При каком минимальном расстоянии между машинами грязь, срывающаяся с колес передней машины, не будет попадать на заднюю? Считать, что в момент отрыва скорость комков грязи равна скорости соответствующей точки колеса. Радиус колеса считать малым по сравнению с дальностью полета грязи.   [ L_min = v²/8 ]

5.25.   Магнитофонная лента сматывается с бобины с постоянной скоростью v. Найти зависимость радиуса ленты на бобине от времени, если начальный радиус R_o, а толщина ленты d. d << R_o.

Ответ к задаче 5.25:     R(t) = √(Ro2 −	vtd	).
	π

5.26.   Два тела одновременно брошены из одной точки с одинаковыми скоростями v_o под углами α и π/2 − α к горизонту. Как зависит от времени расстояние между телами?   [ d(t) = v_ot√(2(1 − sin 2α)) ]

5.27.   По сторонам прямого угла движется стержень. Конец B стержня движется вправо с постоянной скоростью v (рисунок слева). Написать зависимость от времени скорости точки A. За начало отсчета принять момент, когда стержень стоял вплотную к вертикальной стене. Определить траекторию движения середины стержня C и скорость точки C в момент, когда угол между стержнем и вертикалью равен α = 45°. Конец A стержня скользит все время по вертикальной стене. Длина стержня L.

Ответ к задаче 5.27:    vA =	v2t	;     vC =	v	.
	√(L2 − v2t2)		√2

Траекторией точки C является окружность с радиусом L/2 с центром в точке O.

5.28.   Стержень AB движется произвольным образом. В некоторый момент времени скорость точки A равна v и направлена под углом α к оси стержня, а скорость точки B направлена под углом β к той же оси (рисунок слева). Определить скорость точки C (середины стержня) в этот же момент. Ответ на рисунке.

5.29.   С каким ускорением должна двигаться наклонная плоскость вправо, чтобы не мешать телу свободно падать (рисунок слева)? Угол наклона плоскости равен α.   [ a = g•ctg α ]

5.30.   Велосипедист, не вращая педалями, движется по горизонтальной окружности. При этом переднее колесо велосипеда движется по окружности радиусом R. Найти радиус окружности, по которой движется заднее колесо, если расстояние между осями колес равно L (R > L).   [ r = √(R² − L²). Указание: скорость второго тела направлена вдоль нити и по касательной к окружности]

5.31.   Горизонтальная платформа движется со скоростью v. По платформе, с одинаковыми относительно платформы скоростями u, движутся два тела. Скорость одного из них по направлению совпадает с вектором v, а второго — перпендикулярна вектору v. Определить угол между скоростями тел в неподвижной системе отсчета.

Ответ к задаче 5.31:     cos α =	v	.
	√(u2 + v2)

5.32.   За катером, движущимся со скоростью 30 км/ч, едет спортсмен на водных лыжах (рисунок слева). Углы между векторами скоростей катера и лыжника и тросом равны: α = 150°; β = 60°. Определить скорость лыжника.   [52 км/ч]

5.33.   Груз поднимается при помощи двух неподвижных блоков. Определить скорость груза в момент, когда угол между нитями равен α, если нити вытягиваются с одинаковыми и постоянными скоростями v (рисунок слева).   [ u = v/cos(α/2) ]

5.34.   Груз поднимается при помощи двух неподвижных и одного подвижного блоков. Определить скорость груза в момент, когда угол между нитями равен α, если нити вытягиваются со скоростями u и v (рисунок слева).

Ответ к задаче 5.34:     v1 =	v + u	.
	2cos(α/2)

Указание: сумма проекций среднего блока на левую и правую нити 2v₁cos(α/2) равна скорости убывания длины нити между крайними блоками.

5.35.   Две расположенные рядом платформы вращаются в противоположных направлениях с одинаковыми угловыми скоростями w = 1 с⁻¹. В точках A₁ и A₂ стоят два наблюдателя. Известно: O₁O₂ = 5 м; O₁A₁ = O₂A₂ = 2 м. Найти скорость наблюдателя A₁ относительно наблюдателя A₂ в указанный на рисунке слева момент времени.   [1 м/с. Указание: в системе наблюдателя A₂ весь окружающий мир вращается вокруг него с угловой скоростью w по часовой стрелке]

5.36.   Стержень AB приводится в движение нитью BC (рисунок слева). Когда стержень проходит вертикальное положение скорость точки C равна v, а угол между нитью и стержнем — α. Найти скорость точки B в этот момент.   [ v_B = v/sin α ]

5.37.   Горизонтальная платформа равномерно вращается вокруг вертикальной оси. По краю платформы с постоянной скоростью идет человек A (рисунок слева). Ускорение человека относительно платформы равно 0,5 м/с², а переносное ускорение точек края платформы — 2 м/с². Найти абсолютное ускорение человека.   [4,5 м/с²]

5.38.   Горизонтальный стержень длиной L вращается вокруг вертикальной оси O с угловой скоростью w (рисунок слева). На движущийся конец стержня насажено колесо радиусом r. Угол между осью колеса и стержнем равен α, а само колесо катится по горизонтальному столу. Найти угловую скорость вращения колеса.

[ w₁ = (wLcos α)/r. Указание: если бы колесо не вращалось, то точки колеса, соприкасающейся с поверхностью стола, была бы равна v = wL. Разложим эту скорость на составляющие: v₁ — параллельная плоскости колеса; v₂ — параллельная оси колеса (см. рисунок). За счет вращения сила трения гасит составляющую скорости v₁. ]

5.39.   Колесо радиусом R катится без проскальзывания с постоянной скоростью v по горизонтальной поверхности. Приняв положение точки A на рисунке слева за начальное, написать зависимости ее координат X_A и Y_A от времени.
[ x_A(t) = vt − Rsin (vt/R);
y_A(t) = R(1 − cos (vt/R)). Указание: движение точки A можно представить как сумму поступательного движения с постоянной скоростью v и вращательного вокруг центра колеса с угловой скоростью v/R. ]

5.40.   Шар может свободно вращаться вокруг горизонтального стержня OA, который, в свою очередь, вращается с угловой скоростью w_o вокруг вертикальной оси (рисунок слева). Определить угловую скорость вращения шара, если проскальзывания нет.   [ w = w_o√2. Указание: прямая, проходящая через точку O и точку касания шара с поверхностью, является мгновенной осью вращения.]

Далее: задачи по ДИНАМИКЕ.   |   Вернуться к списку разделов КИНЕМАТИКИ.