Найдите силу натяжения верёвки в этот момент (28 ноября 2011)

pop star - 28 ноября, 2011 - 17:45
к задачеЛодку массой m подтягивают к берегу за веревку. Берег выше уровня воды на величину h. При этом горизонтальный участок веревки движется равномерно со скоростью v, а на лодку действует со стороны воды сила сопротивления, пропорциональная скорости лодки: F→ = −γu→. В некоторый момент веревка образует угол α с горизонтом. Найдите силу натяжения верёвки в этот момент. Массой веревки и трением в блоке пренебречь.

Источник: Московская городская олимпиада, 10 класс, 2 тур, задача 2.
URL: olympiads.mccme.ru/mfo/20082009/o2t.pdf   (по ссылке указаны условие и ответ).

Комментарии

Опубликовано 28 ноября, 2011 - 22:30 пользователем Zephyr
Предположу кое-какой вариант. К сожалению, проверить его сейчас нет возможности. Если найдутся ошибки, буду очень благодарен указавшему. Ну так вот: для начала стоит рассмотреть более простой вариант задачи, без высоты, массы лодки и сил трения. Это необходимо, чтобы найти зависимость между u и v. Решив эту задачу, ответ должен получиться следующий:

u = v / cos α (рассуждать можно таким образом, что точка, соединяющая верёвку с лодкой, движется как со скоростью верёвки, так и со скоростью лодки. При этом лодка движется вперёд по горизонтали, что свидетельствует о том, что составляющая v вдоль верёвки есть проекция настоящей скорости u).

Далее уже поинтереснее. Как видно из вышестоящего равенства, скорость лодки меняется, что говорит о наличии ускорения, ⇒

T cos α − Fс = ma,

где Fс = −γv / cos α.

Потом нужно мысленно переместить лодку вперёд, увеличив угол на Δα и записать изменение энергий. Найдя оттуда ускорение, необходимо подставить в написанный выше второй закон Ньютона и получить ответ.

Только вот пока не разобрался, какую роль играет ограничение, написанное в ответе.

Опубликовано 29 ноября, 2011 - 05:42 пользователем mponomarev
В принципе, разумный вариант решения, не без некоторых недочетов, конечно. Лодку не стоит "мысленно" передвигать, достаточно чистой геометрии. А, кстати, процитируйте ограничение, указанное в ответе. Я pdf-файлы открывать не могу.
Опубликовано 29 ноября, 2011 - 06:51 пользователем afportal
ответ к задаче
Опубликовано 29 ноября, 2011 - 09:08 пользователем mponomarev
Да ответ мне не нужен. Продублируйте, пожалуйста, ограничение обычными словами. С оперы мини не видно картинку.
Опубликовано 29 ноября, 2011 - 13:19 пользователем Zephyr
Задача имеет решение при mv2(tg3 α) / (h cos α) + γv / cos2 α < mg / sin α.
Опубликовано 29 ноября, 2011 - 14:02 пользователем mponomarev
Ага, ну весьма логичное ограничение. А Вы сами посудите, что произойдет, если между левой и правой частями будет знак равенства? Доведите задачу до конца, используя не интуитивный сдвиг лодки, а геометрию с механикой, и Вы все увидите сами;-)

p.s. пардон, но администратор поставил мне условие не спешить выкладывать решения раньше 2-х суток.

Опубликовано 29 ноября, 2011 - 15:58 пользователем Zephyr
Удалось получить ответ с помощью мысленного передвижения и одной кинематической формулы.

Мысленно переместим лодку на некоторое расстояние S. Тогда угол станет не α, а α + Δα, где Δα очень мал. Воспользовавшись малостью Δα, можно записать следующие допущения и упрощения, используемые мной во время решения:

1) sin Δα ~ Δα,

2) cos Δα ~ 1,

3) cos (2α + Δα) ~ cos (2α),

4) cos2(Δα + α) cos2 α ~ cos4 α.

Теперь что касается расстояния S. Вначале расстояние до берега было равно h ctg α, потом оно стало h ctg (α + Δα). Ясно, что лодка переместилась на расстояние S = h ctg α − h ctg (α + Δα). Дальше дело тригонометрии и написанных выше упрощений. В результате получилось hΔα / sin2 α.

Сама формула имеет вид S = (v22 − v21) / (2a). Вообще, ускорение здесь меняется, но из-за малости Δα расстояние S проходится за очень малое время, поэтому изменением ускорения можно пренебречь и считать его постоянным.

v2 = u / cos (Δα + α),

v1 = u / cos α.

Опять-таки воспользовавшись тригонометрией и свойствами малого угла Δα, для ускорения я получил следующее значение:

a = v2 (tg3 α) / h.

В первом комментарии я написал формулировку второго закона Ньютона. Подставив найденное значение туда, получаем искомый ответ.

Будет интересно узнать вариант решения mponomarev'а.

Опубликовано 29 ноября, 2011 - 16:12 пользователем mponomarev
Вот теперь отлично. И ответ на Ваш вопрос получен. Все дело в ускорениях (верней, в их проекциях!). В этом и смысл смутившего Вас ограничения. Дальше, думаю, сами разберетесь. Отличное решение, чувствуется прекрасная подготовка.
Опубликовано 29 ноября, 2011 - 19:08 пользователем mponomarev
Маленькая просьба. Возможно ли обращаться ко мне по имени-отчеству, указанному в профиле, а не по виртуальному нику?
Опубликовано 29 ноября, 2011 - 19:24 пользователем Zephyr
Нет проблем.