Астрофизический портал | |
|
Определить массу планеты (24 ноября 2011)
ht - 24 ноября, 2011 - 18:59
Звезда и планета обращаются вокруг общего центра масс по круговым орбитам. Рассчитайте массу планеты m, если известно, что масса звезды равна M. Радиус орбиты звезды и скорость ее движения равны соответственно R и v. Различием между радиусом орбиты планеты и расстоянием между планетой и звездой пренебречь.
Тренировочные задания ЕГЭ 2010.
Ответ должен получиться таким: 3√[(v2M2R) / G].
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
Поскольку планета и звезда вращаются вокруг общего центра масс, то расстояние между ними должно быть всегда одинаково и равно R + R1, но в последнем предложении сказано, что различием между радиусом орбиты планеты и расстоянием между планетой и звездой пренебречь, откуда следует, что расстояние между планетой и звездой равно R1.
Объясним допустимость данного упрощения: направим оси так, как показано на рисунке:
и запишем уравнение для нахождения центра масс для оси oY. Как видно из рисунка, точка O находится на расстоянии R1 от начала координат и это будет координатой центра масс, ⇒
R1 = M (R + R1) / (M + m),
откуда получаем равенство:
MR = mR1, или R1 = MR / m.
M/m — очень большое число, поэтому R1 >> R,
⇒
R можно пренебречь, когда будет идти речь о законе всемирного тяготения. Воспользовавшись им, можно записать следующее:
γmM / R12 = Mv2 / R,
⇒
γmR = v2R12.
Подставив вместо R1 выражение MR / m, получим искомый ответ.
Только вот непонятен один момент, а именно "точка O находится на расстоянии R1 от начала координат и это будет координатой центра масс, ? R1 = M (R + R1) / (M + m) ". Не могли бы Вы пояснить?
xц.м = (m1x1 + m2x2+ ... + mixi) / (m1 + m2 + ... + mi),
где m — массы элементов системы (в данном случае звезда и планета), а xi — координата центра масс этого тела в выбранной системе отсчёта. Для данной системы формула будет иметь вид:
R1 = M (R + R1) / (M + m),
mx = 0, поскольку планета была выбрана началом отсчёта. Центр масс звезды находится на расстоянии R + R1 от начала координат.