В каком положении будет жидкость в пробирке? (10 октября 2011)

karton - 10 октября, 2011 - 12:16
Цилиндрическая пробирка длины 4h, содержащая некоторое количество газа, погружается открытым концом до половины своей длины в жидкость с плотностью ρ. При этом оказывается, что поверхность жидкости внутри пробирки находится на расстоянии 3h от ее открытого конца. В каком положении будет находиться жидкость в пробирке при полном погружении последней? Температура во время опыта поддерживается постоянной, наружное давление равно p.

Взято из Конкурса абитуриентов 2009 года по решению задач вступительных испытаний МФТИ "Конкурс 62".

Теги:

Комментарии

Опубликовано 11 октября, 2011 - 14:04 пользователем karton
Я делал так. Учитывая закон Паскаля, получается, что p + ρгазаg4h = ρg3h + p.

Отсюда ρгаза = (3/4) ρ.

Также после погружения пробирки p + ρгазаg4h = ρg (4h − hн) + p,

где hн — искомая высота столба жидкости от открытого конца.

Получаем, что hн = h.

Правильно ли я решил? Подскажите, если нет.

Опубликовано 11 октября, 2011 - 15:59 пользователем Smoke
Предложу вариант своего решения.

По закону Бойля - Мариотта для положения 1:

PS4h = P1Sh   ⇒   P1 = 4P.

По закону Бойля - Мариотта для положения 2:

P1Sh = (P + ρgx) Sx   ⇒   ρgx2 + Px − 4Ph = 0,

где x — длина части пробирки, заполненной газом.

Решая уравнение относительно x, получаем:

x = (−P + √(P2 + 16Pρgh)) / (2ρg).

Таким образом, высота столба жидкости в пробирке:

H = 4h − x = 4h - [√(P2 + 16Pρgh) − P] / (2ρg).

Опубликовано 11 октября, 2011 - 18:19 пользователем karton
Мне не очень понятно второе уравнение: P1Sh = (P + ?gx) Sx.

? — здесь это чья плотность? газа или жидкости?

Опубликовано 11 октября, 2011 - 18:42 пользователем Smoke
ρ — плотность жидкости.

Давление газа в колбе будет складываться из атмосферного давления P и гидростатического ρgx на глубине x, которая в то же время является длиной части пробирки, заполненной газом.

Опубликовано 13 октября, 2011 - 22:49 пользователем karton
C одной стороны, все вроде нормально, а с другой — кажется, что что-то не то. Может, нас кто-нибудь третий рассудит?!
Опубликовано 14 октября, 2011 - 19:30 пользователем В. Грабцевич
Для первого и второго случая:

p1S4h = p2Sh,

где p2 = p − ρgh.

Для первого и третьего случая:

p1S4h = p3Sx,

где p3 = p + ρgx.

После замены давлений p2 и p3, получим систему уравнений:

4p1 = p − ρgh,     (1)

4p1h = (p + ρgx) x.     (2)

Делая замену (1) в (2):

(p − ρgh) h = (p + ρgx) x.

Получим квадратное уравнение:

ρgx2 + px − (p − ρgh) h = 0.

Решайте полученное уравнение и находите корни, после этого l = 4h − x, получите расстояние от открытого конца трубки или x от запаянного конца.

В решении Smoke взято давление в трубке изначально за p, почему? Это вопрос к Smoke.

Опубликовано 14 октября, 2011 - 20:40 пользователем Smoke
До введения в жидкость колбы газ в колбе находился под внешним давлением P.
Опубликовано 14 октября, 2011 - 20:45 пользователем В. Грабцевич
Читаем условие: Цилиндрическая пробирка длины 4h, содержащая некоторое количество газа. Из чего следует, что газ в пробирке — воздух при атмосферном давлении? Как Вы прокомментируете фразу − некоторое количество газа?
Опубликовано 14 октября, 2011 - 21:00 пользователем Smoke
Получается, вначале некоторое количество газа n занимало объем V = 4hS и находилось под давлением, отличным от атмосферного. Это давление обусловлено притяжением данного количества вещества газа к Земле. Недочет в том, что упростил себе задачу, посчитав газ воздухом.
Опубликовано 14 октября, 2011 - 21:19 пользователем В. Грабцевич
Ваше решение верное для случая, если трубка открыта в атмосферу. Я не автор этой задачи, но мое мнение − в пробирке был газ при давлении, не равном атмосферному. Об этом говорит следующая часть задачи. Что будет, если трубку, в которой был атмосферный воздух, опускать в жидкость плотности ρ?
Опубликовано 14 октября, 2011 - 21:25 пользователем Smoke
Объем газа будет уменьшаться, т.к. при опускании трубки гидростатическое давление, а, следовательно, и общее давление на газ будет увеличиваться.
Опубликовано 14 октября, 2011 - 23:04 пользователем Smoke
(удалено автором)
Опубликовано 14 октября, 2011 - 22:13 пользователем karton
Спасибо за обоснованное решение!
Опубликовано 14 октября, 2011 - 22:22 пользователем Smoke
"При этом оказывается, что поверхность жидкости внутри пробирки находится на расстоянии 3h от ее открытого конца."
Получается, что газ находится в части пробирки, находящейся в воде?
Опубликовано 14 октября, 2011 - 22:41 пользователем karton
Нет, мне кажется, что жидкость занимает часть пробирки от открытого конца до 3h, а газ, в свою очередь, занимает часть пробирки высотой h у закрытого конца (от закрытого конца и вниз высотой h).
Опубликовано 14 октября, 2011 - 23:01 пользователем Smoke
Точно. Тогда почему P2 = P − ρgh?

Ведь под газом в пробирке — столб жидкости высотой 3h. Потому что столб жидкости высотой h над поверхностью воды?

Опубликовано 15 октября, 2011 - 12:03 пользователем karton
мне кажется, да