За какое время муфта пройдёт 1/4 длины окружности кольца? (30 марта 2011)

andrey-schkulev - 30 марта, 2011 - 17:14
Тонкое проволочное кольцо радиуса R расположено неподвижно в вертикальной плоскости. По кольцу без трения может скользить невесомая муфта A. К муфте шарнирно закреплен одним концом жёсткий невесомый стержень длиной L так, что стержень может без трения совершать колебания в плоскости кольца. К другому концу стержня прикреплена точечная масса m. В начальном положении стержень с телом находятся так, как показано на рисунке (муфта A расположена в верхней точке кольца). Из этого положения муфта без начальной скорости начинает скользить вниз. За какое время t муфта пройдёт расстояние в четверть длины окружности кольца?

Задача взята с олимпиады Политеха, 2010 г.

Теги:

Комментарии

Опубликовано 30 марта, 2011 - 21:05 пользователем Старина Пью
Да, серьезная задача. У меня получилось t2 = 2 [(L2 − R2)0.5 − (L − R)] / g. Если принять L >> R, то t = √(2R/g). Есть ответ?
Опубликовано 30 марта, 2011 - 23:23 пользователем afportal
andrey-schkulev, пришлите мне рисунок к задаче, размещу.
Опубликовано 31 марта, 2011 - 14:26 пользователем andrey-schkulev
ответа нет... можно Ваше решение поподробнее?
Опубликовано 1 апреля, 2011 - 19:53 пользователем В. Грабцевич
Пришлите рисунок к задаче.
Опубликовано 1 апреля, 2011 - 19:57 пользователем В. Грабцевич
Пришлите рисунок к задаче: В начальном положении стержень с телом находятся так, как показано на рисунке....
Опубликовано 1 апреля, 2011 - 20:20 пользователем Старина Пью
Для Андрея.

Рисунок делать лень, попробуйте так разобраться. Суть решения сводится к двум основным моментам.

Во-первых, надо учесть, что стержень прикреплен к муфте с помощью шарнира. Это приводит к тому, что сила натяжения стержня T всегда будет направлена вдоль стержня. Если бы это было не так, то возникающий момент сил относительно оси О, проходящей через муфту, привел бы к бесконечно большому угловому ускорению стержня, ведь его масса стремится к нулю.

Второй момент, который надо учесть в этой задаче, заключается в следующем. Если разложить силу T, действующую на муфту на ось, вдоль которой направлена скорость муфты, и записать второй закон Ньютона, то мы увидим, что эта проекция силы приводит к бесконечно большому ускорению муфты, поскольку ее масса стремится к нулю. Но бесконечно большое ускорение приводит к неограниченному росту скорости муфты. Не сложно догадаться, что скорость ее не может неограниченно возрастать. Таким образом, мы приходим к противоречию, разрешить которое можно только одним единственным образом — остается предположить, что сила T так же, как и масса муфты, стремится к нулю. А это в свою очередь приводит к тому, что на груз будет фактически действовать только сила тяжести, сообщающая ему ускорение g. Движение груза в этой системе будет в точности таким же, как движение свободно падающего шарика, который, падая с высоты 2R, испытывает абсолютно упругий удар о горизонтальную поверхность.

В ходе рассуждений следует также учесть, что длина стержня должна быть больше удвоенного радиуса, в противном случае движение тел будет совершенно иным.

Остальную часть задачи предлагаю выполнить самостоятельно.

Опубликовано 2 апреля, 2011 - 19:41 пользователем andrey-schkulev
извините, а что дальше??? к чему прицепиться.... можно поподробнее...?
Опубликовано 2 апреля, 2011 - 21:29 пользователем Старина Пью
Дальше обычная кинематика. Груз свободно падает с ускорением g и проходит некоторое расстояние x за время, за которое муфта пройдет четверть длины окружности. Для того чтобы найти время, необходимо определить x. Делается это из геометрических соображений.
Опубликовано 5 апреля, 2011 - 13:19 пользователем andrey-schkulev
пожалуйста, можно поподробнее??.. ответ не сходится с Вашим....(
спасибо
Опубликовано 5 апреля, 2011 - 19:48 пользователем Старина Пью
к задачеВ начальный момент муфта находится в т.А, тело — в т.С. Как мы уже выяснили, тело движется равноускоренно, с ускорением g вниз. Когда муфта пройдет четверть окружности, она окажется в т.В, а тело, пройдя расстояние x, — в т.D. Запишем уравнение пути для тела:

x = gt2/2.     (1)

Остается только найти x. Для этого рассмотрим треугольник OBD и запишем для него теорему Пифагора:

L2 = (OD)2 + R2.     (2)

Из рисунка видно, что OD = ОС − x = (СА − СО) − x = (L − R) − x.     (3)

Решая совместно уравнения (2) и (3), находим x, а потом и время.