Астрофизический портал | |
|
Найти КПД цикла (25 мая 2010)
shafl - 25 мая, 2010 - 13:32

Дана преподавателем для защиты КР.
Я так понимаю, что на отрезке 1-2 А = 0 и ΔU = Q.
На участке 2-3: A = Q, 3-4: A = 0 и ΔU = Q, но т.к. температура падает, то Q убывает.
4-1: A = Q.
Т.к. η = А/Q1 и количество теплоты увеличивается на 2-3, то η равен (А2-3 + А4-1) / Q2-3.
Не могу понять, как выразить эти величины без значений давления, помогите, пожалуйста.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
2. Теплоту газ получает на переходе 1-2-3. Она равна сумме теплоты на 1-2 и 2-3.
3. Отношение найденной работы (п. 1) к теплоте (п. 2) и есть КПД цикла.
4. Ваш ход.
Полная работа — это сумма элементарных работ.
A = [интегрируем от V1 до V2] = ∫p dV.
Для изотермического процесса:
A = ∫(νRT/V) dV = νRT ln (V2/V1).
это работа для одного процесса или они объединены (у нас же 2 графика)?
А2-3 = vRT1 ln (V2/V1),
где v — молярный объём, v = 22,4;
R — газовая постоянная,
R = 8,31;
ln (0,012/0,003) = ln 4 = 1,4.
В числовых значения получим:
22,4 × 8,31 × 500 × 1,4 = 1,3 × 105,
так же A2-3 = Q2-3,
находим работу на участке 4-1:
А4-1 = vRT2 ln (V1/V2),
ln (0,003/0,012) = −1,4, в числовых значения получим:
22,4 × 8,31 × 300 (−1,4) = −7,8 × 104.
Осталось найти Q1-2, там она равна ΔU:
ΔU = (i/2) vRΔT,
где i — число степеней свободы молекулы газа (двухатомный газ i = 5),
ΔT = (T1 − T2).
В числах:
2,5 × 22,4 × 8,31 × 200 = 9,3 × 104,
в итоге η = A/Q,
A = (1,3 × 105 − (−7,8 × 104)) / (9,3 × 104 + 1,3 × 105) = 0,93 × 100% = 93%,
КПД = 93%.
Прокомментируйте, пожалуйста, правильность решения.
Я почти уверен, что правильно, меня смущает ΔT: наверное, всё таки оно равно не T1 − 2, а T2 − T1, считал с учётом того, что на участке 1-2 температура растёт, значит, ΔT положительное.
Что в данном случае ? — количество вещества? и как его найти?
Значит, так:
А2-3 = vRT1 ln (V2/V1) = Q2-3,
А4-1 = vRT2 ln (V1/V2),
Q1-2 = ΔU = (i/2) vRΔT = ΔU = (i/2) vR (T1 − T2).
В общем виде:
η = (vRT1 ln (V2/V1) − vRT2 ln (V1/V2)) / (vRT1 ln (V2/V1) + (i/2) vR (T1 − T2)).
Выносим за скобки vR, получим:
vR (T1 ln (V2/V1) − T2 ln (V1/V2)) / (vR (T1 ln (V2/V1) + (i/2) (T1 − T2)).
vR сократится, у меня результат 3.3.
Разве может быть КПД больше 1 ?
есть ли разница между ln (V1/V2) и ln (V2/V1) ?
Окончательное решение:
А2-3 = vRT1 ln (V2/V1) = −А4-1.
Q1-2 = Cv (T1 − T2) = −Q3-4.
Q1 = Cv (T1 − T2) + vRT2 ln (V2/V1),
Q2 = Cv (T1 − T2) + vRT1 ln (V2/V1).
η = (Q1 − Q2) / Q1,
подставив значения, сократим vR и получим 0,232.
|A23| ≠ |A41|.
A23 = νRT1 ln (V2/V1), a A41 = νRT2 ln (V1/V2).
Как, по-вашему, равны численные значения работ? Ваша первая строчка.
Смотрю на строчку 1 и беру за T1 = 500 K. Теперь смотрим третью строчку, формула для Q1. Работа находится через температуру T2, теперь вопрос возникает сам собой. Так где какая температура?
Или Вы сознательно всех запутываете, или я ошибаюсь, в чем? Поправьте.
А4-1 = ?RT1 ln (V1/V2) = −?RT1 ln (V2/V1),
А2-3 = ?RT2 ln (V1/V2),
при том что Т2 = 500 К, Т1 = 300 К. Третья строчка выглядит так:
Q1 = Cv (T2 − T1) + vRT2 ln (V2/V1)
и четвёртая:
Q2 = Cv (T2 − T1) + vRT1 ln (V2/V1),
ещё раз простите за ввод в заблуждение =) и да, аккуратность хромает.
η = (Cv (T2 − T1) + vRT2 ln (V2/V1)) − (Cv (T2 − T1) + vRT1 ln (V2/V1)) / (Cv (T2 − T1) + vRT2 ln (V2/V1)),
после сокращения (т.к. Cv = (i/2) vR):
(2(T2 − T1) ln (V2/V1)) / (i (T2 − T1) + 2T2 ln (V2/V1))
поправьте и объясните, пожалуйста, если ошибаюсь, я ведь только учусь =)
η= (γ − 1) (T1 − T2) ln (V1/V2) / [(γ − 1) ln (V1/V2) + (T1 − T2)].