Груз на пружине в разгоняющемся лифте (12 августа 2008)

К потолку покоящейся кабины лифта на пружине жесткостью k подвешена гиря массой m. В некоторый момент времени лифт начинает двигаться вверх с постоянным ускорением a. Какой путь s пройдет кабина лифта к тому моменту, когда длина пружины достигнет максимального значения?

Задача вступительного экзамена в МГУ.

Комментарии

Подсказка: при решении воспользуйтесь аналогией с колебанием маятника.

Представим себе груз, висящий на пружине. На груз вниз действует сила тяжести Mg, вверх — сила упругости. После того, как лифт пришел в движение с ускорением а, на груз стала действовать сила m(g + a), направленная вниз, если перейти в систему отсчета, связанную с лифтом (т. е. если представить себе, что лифт покоится). Тогда на груз вместо ускорения свободного падения g будет действовать ускорение g + a.

Путь, пройденный кабиной лифта, можно найти по формуле кинематики S = at2/2, ибо в начальный момент лифт покоился.

Формула для пружинного маятника T = 2π√(m/k). Однако применимость формулы пружинного маятника требует доказательства. Хотя она не зависит от ускорения лифта а, как если бы это был математический маятник. В случае математического маятника это выглядело бы так: T = 2π√(L/(g + a)), где L — длина маятника. По крайней мере, в условии задана жесткость пружины К, которая, по-моему, не изменяется, если лифт начнет двигаться с ускорением. Масса груза также остается неизменной, чего нельзя сказать о весе (действие на опору или подвес). Вес в данном случае равен P = m(g+a). Но это не относится к задаче.

Момент, когда длина пружины максимальна, — это когда растяжение пружины равно амплитуде колебаний маятника. При этом маятник колеблется под действием не силы mg, а силы m(g+a).

Время, когда длина пружины достигнет максимального значения, равно четверти периода колебаний: t = T/4.

Из описанных выше 3-х уравнений найдем искомое S, решив простую систему:

S = at2/2.

T = 2π√(m/k).

t = T/4.

S = (a/2) • T2/16 = (a/32) • 4π2 • m/k = π2ma/(8k).

Уточнение: задача решена не совсем верно.

1) При движении лифта с ускорением вниз у груза будет новое положение равновесия, относительно которого он будет совершать колебания.

2) В задаче найдено время движения груза от нового положения равновесия до крайнего его положения.

3) Все искомое время будет состоять из времени движения груза из положения старого равновесия до нового положения равновесия t1, плюс время t2 = T/4, найденное в задаче.

4) После нахождения времени движения груза до максимального растяжения пружины расстояние, пройденное лифтом, найдете из выражения:

S = a(t1 + t2)2/2.

1. Задача не может быть решена не совсем верно. Это логический казус.

2. Полностью согласен с Вашими, В. Грабцевич, комментариями, но ведь самый тонкий момент Вы не осветили. Как найти время движения груза от старого положения равновесия до нового? Могу ошибиться, но из соображений симметрии следует, что как раз расстояние между этими двумя положениями и будет амплитудой колебаний, следовательно, общее время движения будет равняться половине периода.

Подобные задачи: когда бросают груз на пружинные весы, когда сыпят песок на рычажные весы.

Любая задача может быть решена с разной степенью строгости. В этом случае я употребляю "не совсем верно".

Как обосновать, доказать Ваше предположение "Могу ошибиться, но из соображений симметрии следует, что как раз расстояние между этими двумя положениями и будет амплитудой колебаний, следовательно, общее время движения будет равняться половине периода"?

Для физика нерешенная проблема становится головной болью, заполняет все время... Вам знакома такая ситуация? Я сознательно не выдаю решение этой задачи и не снимаю с главной, она мне симпатична — эта задача вступительного экзамена. Ход за Вами, господа физики, т. е. решение.

Не согласен с господином Грабцевичем в том, что он начал предлагать считать 2 времени.

В момент, когда лифт ускорился, скорость тела на пружине равна 0, это значит, что тело находится в положении крайнего отклонения. По закону сохранения энергии, когда тело в очередной раз будет проходить это положение, оно выше уже не уйдет, т. к. скорости не будет, но и ниже не остановится, т.к. будет энергия в запасе.

После ускорения лифта тело остановится в нижней своей точке в первый раз, как раз в момент наибольшего растяжения, а потом пойдет вверх (все это относительно лифта). Поэтому нам не нужно вычислять новое положение равновесия и два времени. Эти 2 времени будут равны по T/4, а в сумме дадут T/2.

В исходном решении нужно заменить T/4 на T/2 и получим ответ: S = (a/2) • T2/4 = (a/8) • 4π2 • m/k = π2ma/(2k).

Уважаемый inkerman, если Вы читали внимательно комментарий, то должны были обратить внимание на то, что комментарий был на решение задачи Rally. Заметьте, я не предлагал решение задачи, а комментировал решение пользователя.

Уточните пожалуйста, если Вы меняете систему отсчета "После ускорения лифта тело остановится в нижней своей точке в первый раз, как раз в момент наибольшего растяжения, а потом пойдет вверх (все это относительно лифта)", то как Вы определяете "Эти 2 времени будут равны по T/4, а в сумме дадут T/2"?

Уровень наших пользователей разный, и чем подробнее Вы решаете задачу, тем понятнее она нам всем. Спасибо.

Я попробую.

Переходим в систему отсчёта, связанную с лифтом. В ней в момент старта изменяется g и становится равным g + a.

Таким образом, тело в начальный момент оказывается не в положении равновесия, а отклоненным от него. Это произошло потому, что сила упругости пружины недостаточна для уравновешивания веса тела: P = m(g + a). Поэтому начинаются колебания относительно уже нового положения равновесия. Это будут обычные колебания вертикального пружинного маятника. В начальный момент тело находилось в верхней крайней точке, а когда пружина максимально растянется, тело будет в самой нижней точке.

Как известно, тело при гармонических колебаниях проходит от крайнего положения до другого крайнего положения за время полпериода, значит, время из верхней до нижней точки равно пол периода колебаний, т.е. T/2.

Спасибо, inkerman, за подробное и грамотное объяснение. Согласен с Вашими рассуждениями. На мой взгляд, самый быстрый способ ответить на вопрос задачи как раз в изменении системы отсчета.