Задача B2: репетиционное тестирование 2009 в Беларуси, этап 2, вариант 3

рисунок к задачеВ2. Два бруска массами m1 = 300 г и m2 = 600 г, скреплены невесомой недеформированной пружиной (k = 500 Н/м), лежат на гладкой горизонтальной поверхности (см. рис.). Шарик массой m = 100 г, модуль скорости которого v = 10 м/с, движущийся поступательно, испытывает абсолютно упругое столкновение с бруском массой m1. Если непосредственно перед столкновением скорость шарика направлена горизонтально, то максимальное значение удлинения Δl пружины в процессе дальнейшего движения брусков будет равно … см.


Решение

Вначале потребуется определить скорость бруска массой m1 после абсолютно упругого столкновения с шариком массой m.

По закону сохранения импульса и кинетической энергии

mv = m1v1 + mv2
mv2=m1v12+mv22,
22 2 
или (второе уравнение) mv2 = m1v12 + mv22.
Объединим уравнения в систему: m(v − v2) = m1v1,
m(v2 − v22) = m1v12;
и разделим части уравнений соответственно: v + v2 = v1,
откуда: v2 = v1 − v     — скорость шарика после столкновения.
После подстановки в закон сохранения импульса выразим скорость бруска: mv = m1v1 + m(V1 − v),
и
v1 =2mv =2 × 0,1 × 10= 5 (м/с).         (1)
m1 + m0,3 + 0,1
Первый этап задачи завершен, скорость 1-го бруска определена.

Порассуждаем: первый брусок начинает движение со скоростью v1, пружина начинает сжиматься, сила упругости со стороны пружины действует как на первый брусок (тормозит), так и на второй (разгоняет). Когда пружина максимально сожмется, то оба тела будут иметь одинаковые скорости. После этого пружина начнет разжиматься, что приведет к дальнейшему разгону 2-го тела и торможению 1-го тела. В момент максимальной деформации скорости брусков сравняются.

Применим закон сохранения механической энергии:

m1v12=m1vo2+m2vo2+kΔl2,
222 2 
или
m1v12 = m1vo2 + m2vo2 + kΔl2.         (2)
По закону сохранения импульса в направлении движения брусков: m1v1 = m1vo + m2vo,
откуда скорость брусков:
vo =m1v1.
m1 + m2
После подстановки в (2) с учетом (1):
 m1(2mv)2 = (m1 + m2)(m1v1)2 + kΔl2.
m1 + mm1 + m2
Выразим искомое сжатие пружины:
Δl = √(1[m1(2mv)2 −(m1v1)2]).
km1 + mm1 + m2
Вычислим:
Δl = √(1[ 0,3(2 × 0,1 × 10)2 −(0,3 × 0,5)2]) = 0,1 (м) = 10 см.
5000,3 + 0,10,3 + 0,6

Ответ: 10.

Задача 5-го уровня (9 баллов).

Следующая задача: B3.

Теги: