Задача 5: минимальная сила, чтобы сдвинуть груз

рисунок к задаче Два одинаковых груза массой M каждый, соединенные пружиной, лежат на шероховатой горизонтальной плоскости в поле тяжести земли. Какую минимальную горизонтальную силу необходимо приложить к правому грузу, чтобы пришел в движение левый груз? Коэффициент трения грузов о плоскость μ. В начальном состоянии пружина не деформирована.


Решение

Для того, чтобы сдвинуть тело 2 с места, необходимо приложить к нему горизонтально силу, которая превышает максимальную силу трения покоя, которая в данном случае равна:
Fтp2 = μmg.       (1)
В качестве силы, которая сдвигает это тело, выступает сила упругости пружин, модуль которой, согласно закону Гука, равен:
Fупр = kΔx,       (2)
где k — жесткость пружины, Δx — ее удлинение. Таким образом, необходимо удлинить пружину (т. е. сдвинуть тело 1) на величину:
Δx = μmg.       (3)
k
Если мы приложим к телу 1 постоянную силу F таким образом его движение не будет равноускоренным, так как на него действует, помимо постоянной силы трения Fтр = μmg, сила упругости Fупр = kΔx , которая не является постоянной.

Качественно движение тела 1, при неподвижном теле 2, можно описать следующим образом. Если сила F по модулю превышает силу трения Fmp1, то тело начнет двигаться с положительным ускорением, при этом сила упругости начнет возрастать, в некоторой точке Fупр превысит разность F − Fтp1, и ускорение изменит свой знак. Тело 1 еще некоторое время будет двигаться в положительном направлении и затем остановится.

Максимальная деформация пружины будет в момент остановки тела. Эту максимальную деформацию Δx1 можно найти, воспользовавшись энергетическими соображениями: работа постоянной силы F числено равна изменению энергии пружины плюс работа силы трения. Кинетическая энергия тела в начальный и конечный моменты движения равна нулю.

F • Δx1 = μmg • Δx1 + k(Δx1)2,       (4)
 2 
или
F = μmg + kΔx1.       (5)
2 
Очевидно, что для ответа на поставленный в задаче вопрос следует положить в (5) Δx1 = Δx, определяемое в (3). Окончательно получим:
F = μmg + μmg= 3μmg.       (6)
22

Обратите внимание на два обстоятельства:

  1. Искомая сила равна сумме силы трения, действующей на тело 1, и половине (!) силы трения, действующей на тело 2.

  2. Ответ не зависит от величины жесткости пружины. Подумайте, как объяснить эти обстоятельства в том случае, когда жесткость пружины очень велика (скажем, вместо пружины металлический стержень).
Не объясняет ли данная задача старую бурлацкую песню «поддернем, поддернем, да ухнем!»?


Далее: угол максимального отклонения нити   [тема: задачи на минимум и максимум]


Теги: