Зависимость скорости от пройденного пути при торможении (9 февраля 2009)

ma = −kv,  или  m(dv/dt) = −kv.   (1)

dv = −(k/m)ds,

Интегрируя в пределе от v_o до v, получим:

v = v_o − ks/m.   (2)

Считая конечную скорость нулю (v = 0), имеем:

s = mv_o/k.

Время движения автомобиля при торможении из (1):

dv/v = −(k/m)dt,

ln v = −(k/m)t + C,

при начальных условиях t = 0, v = v_o, C = ln v_o.

Тогда:

(ln v)/ln v_o = −(k/m)t,
и

v = v_o × e^−kt/m.   (3)

Считаем, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости автомобиля, тогда:

m(dv/dt) = −kv², или

dv/v = −(k/m)ds,

интегрируя, аналогично как и выше, получим:

v = v_o × e^−(k/m)s.   (4)

Вывод:

1. При торможении сила сопротивления пропорциональна скорости автомобиля и скорость от пройденного пути изменяется по закону:

v = v_o − ks/m.

2. Скорость движения автомобиля изменяется по экспоненциальному закону от времени:

v = v_o × e^−kt/m.

3. При торможении сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости автомобиля и скорость от пройденного пути изменяется по закону:

v = v_o × e^−(k/m)s.

4. Связь скорости от времени для случая F = −kv² за Вами.