Репетиторы в ужасе от белорусских школьных учебников

Очередной учебный год подошел к концу. Школьники наслаждаются летними каникулами, абитуриенты готовятся к вступительной кампании. Подводя итоги прошедшего года, столичные репетиторы отметили, что уровень школьного образования продолжает снижаться. Одной из основных, но далеко не самой главной проблемой, они считают школьные учебники, качество которых, по их мнению, оставляет желать лучшего.

Интересные аномалии

Обсуждение ляпов и ошибок в учебниках уже давно стало достаточно популярной забавой на интернет-форумах. Что и неудивительно, ведь в современной учебной литературе для школьников их более чем предостаточно. Один из наиболее вопиющих примеров стал достоянием общественности в начале июня, после того как белорусские одиннадцатиклассники сдали выпускной экзамен по математике. При решении последней, самой сложной задачи, ученикам нужно было найти объем цилиндра, вписанного в конус. Формально, по формулам, решить ее вполне возможно. Но в условиях задачи были заданы такие параметры, при которых описанная конструкция просто не может существовать: цилиндр не помещается в конус, выходит за его пределы, т. е. не может быть вписан. Задача с ошибкой была взята из «Сборника экзаменационных материалов по математике за курс средней школы». Это — официальное издание, утвержденное Министерством образования и прошедшее экспертизу. Впрочем, как и все остальные белорусские учебные пособия для школьников.

Та самая задача

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник с высотой 8?3. В конус вписан цилиндр с образующей 4. Найдите объем цилиндра, если образующая цилиндра лежит на диаметре основания конуса.

А вам слабо?

Листая белорусские учебники, подобные казусы репетиторы находят сплошь и рядом. Вот, например, задача из учебника по математике для 2 класса:

«Мама купила конфеты. После того как она раздала детям по 2 штучки, у нее осталось 15 конфет. Сколько было конфет?»

Теоретически эту задачу можно представить как уравнение с двумя неизвестными: 2x + 15 = y. Однако дети во втором классе еще не умеют таковых составлять.

А вот еще одна, тоже по математике, но уже из учебника для 5 класса:

«Найдите годовую амортизацию станка, если его стоимость составляет 300 млн рублей, плановый срок работы — 10 лет, плановые затраты на ремонт — 180 млн рублей, остаточная стоимость после 10 лет работы — 32 млн рублей, расходы на демонтаж — 2 млн рублей.»

Задача для юных экономистов — не иначе!

Некорректно составлена лабораторная работа № 6 в учебнике физики для 6-го класса. В ней ученикам предлагается рассчитать период колебания маятника. При этом грузик, висящий на нитке, необходимо отвести на угол в 30?. Указана и формула расчета, однако в данной ситуации ее использование неприемлемо. «Дело в том, что эта формула работает только в том случае, когда угол отклонения очень мал: 5-7?, в крайнем случае — 10? — поясняет Евгений Ливянт, репетитор с более чем десятилетним стажем — В последнем случае она будет работать лишь приблизительно. Но ни в коем случае не при 30?!»

Некоторые ошибки не бросятся в глаза человеку, далекому от сферы образования. Репетиторы отмечают, что при составлении учебников не всегда соблюдается согласование программ между разными предметами. Так, в том же учебнике по физике для 6-ого класса в самом начале приводятся упражнения, где необходимо производить действия со степенями. В то время как степени сегодня школьники изучают на уроках математики лишь в конце 6-го класса. Задачи по физике с отрицательными числами ученикам также предлагается решать еще до того, как они познакомятся с ними на математике.

Слишком сложно

Ошибки, ляпы, неточности и несостыковки — это еще полбеды. Их наличие пусть и является определенным индикатором качества, от ошибок не застрахован никто. Куда большей проблемой репетиторы считают тот факт, что учебники для старших классов слишком сложны и перегружены избыточной информацией.

— Даже если бы эти учебники были написаны без ошибок, они все равно безобразны, считает Евгений Ливянт. — По ним невозможно нормально учиться. Они написаны бессистемно, непонятно в какой последовательности, чрезмерно изобилуют специализированной терминологией. Если взять, к примеру, учебники истории, то что мы в них увидим? Десятки имен королей, императоров и их родственников, названий стран и провинций. Как школьнику все это запомнить и вычленить, какое событие или историческая фигура важны, а какие — второстепенны?

Цитата из учебника по биологии за 10 класс:

«Таким образом, образование бивалентов при конъюгации гомологичных хромосом в профазе первого мейоза создает условия последующей редукции числа хромосом. Формирование гаплоидного набора в гаметах обеспечивается расхождением в анафазе 1 не хроматид, как в митозе, а гомологичных хромосом, которые ранее были объединены в биваленты. Второе мейотическое деление следует сразу за первым и сходно с обычным митозом (поэтому его часто называют митозом мейоза), но в отличие от митоза, клетки, вступающие в него, имеют гаплоидный набор хромосом».

Если вы поняли все слова из предыдущего абзаца, не прибегая к помощи Гугла, то очень велика вероятность, что вы — один из авторов этой книги.

Многие преподаватели, открывая учебники по физике за 10-й или 11-й класс под редакцией Жилко, Лавриненко и Марковича, испытывают состояние легкого шока. Потому что некоторые темы, которые в них включены, не проходят и в университетах. А над отдельными упражнениями ломают головы даже профильные учителя!

— Эти учебники не столько плохие, сколько сложные, — считает Алексей Василевский, учитель физики с 14-летним стажем. — Лавриненко и Маркович — шикарные учителя. Они и преподаватели вузов хорошие, но как учителя — еще лучше. Но они лицейские учителя. Им нужно писать учебники для лицеистов, для очень сильных детей. Честно говоря, я даже не представляю, как Маркович проведет урок в обычном классе. Когда стоит постоянный крик-гам, когда тебя не слушают и ждут не дождутся, когда урок закончится.

Алексей Василевский приводит в пример российские учебники по физике, которые отличаются от белорусских в лучшую сторону. В первую очередь, благодаря простоте изложения материала и наглядности приводимых сравнений.

— У нас законы постоянного тока проходятся за 9 параграфов, у них — за 16. У них эта тема разбита на небольшие части, чтобы не перегрузить ребенка, а у нас стараются в один параграф как можно больше всего впихнуть. Еще мне очень понравилось, что всегда там присутствует аналогия. Допустим, аналогия между действием источника тока и водяного насоса. Такой подход более эффективен, потому что механику всегда можно потрогать руками, а электрон, который бежит по проводам и лампочку зажигает — его ж никто не видит, для школьника это чистая абстракция! — сказал Алексей Василевский.

Репетиторы сходятся во мнении, что школьные учебники не должны быть настолько сложными, какими они получились. Поскольку если школьнику трудно пробираться сквозь джунгли специальных терминов и заумных фраз, то в какой-то момент он просто перестанет понимать предмет. А вместе с непониманием пропадает и всякий интерес к его изучению. Отпугнуть легко, а вот заинтересовать ученика заново — очень сложно.

— Ни один репетитор сегодня по школьным учебникам не готовит. По ним готовиться к школьным экзаменам просто невозможно. Только человек совершенно некомпетентный в системе образования будет это делать, — заметил Евгений Ливянт.

Макулатурный конвейер

Еще одна проблема белорусских школьных учебников — в том, что они постоянно меняются. Причем, как отмечают репетиторы по физике, меняются весьма странно. В идеальной ситуации, дополненное и улучшенное издание приходит на смену старому учебному пособию, лишь неся в себе какие-то пусть и существенные, но не глобальные изменения. У нас же, если взять, к примеру, ту же физику, за последние десять лет «парк» учебников по ней обновился минимум трижды. И практически каждый раз выпускался совершенно новый учебник. Переписывать их приходилось под изменения в школьной программе. В результате получались достаточно странные вещи. Так, согласно учебному плану по физике за 2010/2011 г. ученикам 10-ого класса предлагалось пользоваться аж сразу тремя учебниками разных годов выпуска!

— Физика десятилетиями имеет определенный устоявшийся порядок изложения, — рассказывает Алексей Василевский. — Ее изучение начинается с механики, потом идет молекулярная физика, затем электричество и так далее. У нас же с 2001 г. зачем-то начали крутить программу. Когда дети в том году пришли в 10 класс, они вместо молекулярной физики стали изучать электростатику. Потом изучали постоянный ток, потом — электромагнитное поле, а молекулярную физику они проходили уже в 11 классе. А то, что изучали в 11-ом — впихнули в 10-ый. То есть перевернули всю программу, вывернули наизнанку, перемешали. Зачем это было сделано — непонятно. В конечном итоге, кстати, все равно вернулись к старому порядку.

Репетиторы призывают Министерство образования прекратить эксперименты над детьми в масштабах всей страны. Ведь результатом всех этих перестановок стало не только то, что физика стала самым худшим сдаваемым экзаменом на ЦТ (ранее «лидировала» математика). Параллельно была издана уйма книг, которая спустя некоторое время просто-напросто пошла под пресс. Причем немалыми тиражами! А вести обучение по другим учебникам, не разработанным под эгидой Министерства, школьным учителям официально запрещено.

Кстати, представляем вашему вниманию учебники физики для старших классов, изданные за последние десять лет и «сошедшие с дистанции». Ни один из них уже не используется:


7-й класс, Л. А. Исаченкова, Ю. Д. Лещинский, 2000 г., тираж — 47.400 экз.,
7-й класс, Л. А. Исаченкова, Ю. Д. Лещинский, 2004 г., 90.000 экз.,
8-й класс, Л. А. Исаченкова, Ю. Д. Лещинский, 2004 г., 49.500 экз.,
8-й класс, Л. А. Исаченкова, Ю. Д. Лещинский, 2005 г., 94.000 экз.,
9-й класс, Л. А. Исаченкова, И. И. Жолнеревич, И. Н. Медведь, 2000 г., 132.000 экз.,
9-й класс, Л. А. Исаченкова, Г. В. Пальчик, 2006 г., 103.000 экз.,
10-й класс, В. В. Жилко, А. В. Лавриненко, Л. Г. Маркович, 2001 г., 157.100 экз.,
10-й класс, И. И. Жолнеревич, И. Н. Медведь, 2007 г., тираж — 101.500 экз.,
11-й класс, В. В. Жилко, А. В. Лавриненко, Л. Г. Маркович, 2002 г., 147.000 экз.,
11-й класс, В. В. Жилко, Л. Г. Маркович, 2008 г., 133.300 экз.

Предлагаем решить следующую задачу: сколько учебников по физике было сдано в макулатуру? Усложненный вариант задачи: сколько денег при этом вылетело в трубу? Стоимость учебника за тот или иной класс можно узнать в любой школьной библиотеке.

В сфере издания учебников у нас вообще творится что-то странное. По свидетельству учителей, бывали случаи, когда выпускались учебники, которые вообще ни разу не использовались в процессе обучения. Такая судьба постигла, в частности, выпущенный несколько лет назад учебник по предмету «Человек. Общество. Государство» для 7-го класса. Эту книгу напечатали, развезли по школам, а через полгода отправили в макулатуру. Причина проста — вновь поменяли учебные планы. ЧОГ было решено ввести с 9-го класса.

Узок их круг, страшно далеки они от народа

Сравнивая современные белорусские учебники с выпущенными еще в советские времена, репетиторы отмечают, что наши новоделы уступают им по всем параметрам. Советские учебники, во всяком случае, те, что касаются точных наук, просты, понятны, отличаются сбалансированностью курса и практически не содержат ошибок. По ним же, полуподпольно, учат детей в школе и некоторые наши учителя.

Наша система образования гордится тем, что взяла все самое лучшее, что было в советской системе образования. Однако, по мнению столичных репетиторов, как минимум в вопросе создания учебников преемственность все же была прервана.

— Плохие учебники — это даже не вина авторов, это вина тех, кто организует процесс их издания, — считает Евгений Ливянт. — Должен быть отлаженный процесс. То есть одни пишут, другие рецензируют, находят ошибки, отлавливают их, третьи апробируют учебники на некоторых школах в течение нескольких лет. И только тогда учебники должны запускаться в массовое производство. У нас же рецензирование проходит чисто формально. И тут же, словно горячие пирожки, книги выходят в тираж.

— Открываем учебник, смотрим, кто рецензировал. — взял в руки одну из книг Алексей Василевский, — Два человека: заслуженный учитель и доцент. Это хорошо, просто замечательно. Но учитель-то всего один, а их в Беларуси — тысячи. А доцент — он же как генерал в штабе! Он когда живого солдата в последний раз в глаза видел? Если бы учебники давали на обсуждение широкому кругу учителей, было бы куда больше пользы. Я уверен, что педагог за участие в рецензировании даже денег не возьмет — ему ведь по этому учебнику потом детей учить!

— На мой взгляд, учебники должны писать учителя-практики, а не вузовские работники, — поделилась мнением Мария Петровна, учитель истории в минской школе. — Потому что вузовские преподаватели просто-напросто берут студенческие лекции и выдают их за учебник. Безо всякого учета психологии и возрастных особенностей восприятия материала.

Мне удалось поговорить с одним из авторов учебников по физике, Юрием Лещинским, который рассказал о том, как функционирует отечественная система написания учебной литературы. Любопытно, что он охотно показал на ляпы, опубликованные в его учебниках, и которые появились из-за несогласованности действий людей, ответственных за их издание. Юрий Лещинский преподает физику с 1959 г., в последние годы — в статусе репетитора.

Учебники в Беларуси пишутся под программы, повлиять на изменение которых автор книги не может практически никак. Работа над ними идет, как правило, во внерабочее время, что также накладывает некоторый отпечаток на качество материала. В советские времена над каждым учебником работала достаточно большая группа специалистов, включая психологов и методистов, у нас же — лишь исключительно преподаватели предмета, указанного на обложке. Как правило, это — работники вузов. Школьных учителей, таких как Юрий Лещинский, очень и очень немного.

— Главная беда заключается в том, что наши учебники пишутся очень узким кругом людей. И не проходит широкое их обсуждение, — считает он. — В написании учебников принимают участие одни и те же учителя, обычно это очень угодные министерству люди. Которые на совещаниях всегда скажут только то, что нужно. Меня, например, уже два года не зовут на совещания авторов. Потому что знают, если я приду, то могу высказать и то, что не понравится. Другая беда — это пассивность наших учителей. Я объехал областные центры — все ругают учебники. Я им говорю: «Вот у вас сейчас семинар, напишите резолюцию, обращение в министерство о том что, учебники — плохие». Мне отвечают: «Да, надо бы». Но никто ничего не делает.

«Состояние белорусских учебников удручающее», — резюмируют столичные репетиторы. Но больше всего их удручает тот факт, что отсутствует диалог между рядовыми педагогами и теми, кто отвечает за формирование стратегии образования в стране. Чиновники Министерства образования не реагируют на замечания и предложения. Учителя ругаются, но терпят. А потом все дружно хватаются за голову, ознакомившись с результатами ЦТ, и задаются вопросом — почему так?

Олег Галкин, TUT.BY. 13 июня 2011 года.
Источник: news.tut.by/society/230625.html

Читайте по теме:
Репетитор Евгений ЛИВЯНТ: «Почему ученик получает на экзамене в школе 8-9 баллов из 10, а через неделю на тесте — 12-15 баллов из 100?»

Комментарии

Опубликовано 22 апреля, 2016 - 04:23 пользователем Diane
Экзаменационная задача по математике вполне легитимная, почему журналист полагает, что нет решения? Сначала найдем диаметр конуса, это сторона d равностороннего треугольника с высотой h = 8 √3. Эта сторона равна d = 2h / √3 = 16. Образующая цилиндра — любая вертикальная линия на его боковой поверности, и длина ее равна высоте цилиндра: l = 4. Если образующая лежит на диаметре основания конуса, это значит, что цилиндр не стоит в конусе, а лежит в нем. Ось вращения цилиндра горизонтальна, а ось вращения конуса вертикальна. Предположим сначала, что диаметр цилиндра очень мал — иголка. Лежит на дне конуса, середина иголки в центре круга, диаметр круга 16, длина иголки 4. А дальше увеличиваем диаметр цилиндра, пока его торцы не коснутся боковой поверхности конуса. Решение существует и единственное. У меня получился радиус цилиндра, при котором произойдет касание, R = 4.325, а объем его, соответственно, V = 235.1.

Это интересная задача, давайте ее решим. Интересно решать более общую задачу, когда равнобедренный треугольник в вертикальном осевом сечении конуса не обязательно равносторонний. Заданы диаметр основания конуса d, высота конуса h и длина цилиндра l. Требуется найти радиус цилиндра R, который вписан в конус и лежит плашмя на плоскости основания конуса. Введем систему координат с началом в центре круга в основании конуса. Ось z — это ось конуса, ось х параллельна оси цилиндра, но ниже ее (в плоскости основания конуса), и ось y — так, чтобы получилась правая система координат. В этой системе координат составим уравнение поверхности конуса. Если рассечь конус горизонтальной плоскостью, параллельной основанию, то в сечении получим круг, радиус которого r (z) зависит от высоты сечения. Для нулевой высоты z = 0 — это радиус основания конуса, r = d/2, а для высоты z = h, равной высоте конуса, радиус нулевой, r = 0, потому что там расположена вершина конуса, и круг сжимается в точку. Функция r (z) линейная (потому что мы имеем дело с конусом), и по двум заданным точкам ее можно восстановить,

1)   r (z) = d (h − z) / (2h).

Уравнение окружности в сечении конуса:

2)   x2 + y2 = r2.

Объединим уравнения 1 и 2 и получим уравнение (боковой) поверхности конуса:

3)   x2 + y2 = d2(h − z)2 / (4h2).

Касание цилиндра и конуса происходит на торцах цилиндра. Это плоскости, параллельные координатной плоскости yz, у которых координата x постояна: для левого торца x = −l/2, а для правого x = +l/2. Подставляем эти значения в уравнение 3 и получаем вертикальное сечение конической поверхности плоскостью, совпадающей с одним из торцов цилиндра (любым):

4)   l2/4 + y2 = d2(h − z)2 / (4h2).

Это уже не поверхность, а плоская кривая, у нее только две координаты, y и z. В сечении конуса можно получить эллипс, параболу или гиперболу, эти три кривые называются коническими сечениями. В данном частном случае, когда плоскость сечения параллельна оси конуса, это будет именно гипербола. То, что это гипербола, видно также из уравнения 4. Его удобно переписать в виде:

5)   y2 = d2(h − z)2 / (4h2) − l2/4.

В этом же вертикальном сечении контур торца цилиндра представляет собой окружность. Ось цилиндра лежит в плоскости xz (и параллельна оси x), поэтому координата y центра окружности равна нулю. А вот по координате z центр окружности приподнят на высоту, равную его радиусу R, потому что нижняя образующая цилиндра лежит в плоскости основания конуса. Итак, мы имеем дело с окружностью с радиусом R и центром с координатами yc = 0,   zc = R. Уравнение такой окружности имеет вид:

6)   y2 + (z − R)2 = R2.

Его можно упростить и привести к виду:

7)   y2 = 2Rz − z2.

Покольку цилиндр вписан в конус, эта окружность касается гиперболы. Окружность находится внутри гиперболы (касание внутренним образом). Если две кривые пересекаются, то в точках пересечения координаты сопадают. Если кривые не просто пересекаются, а касаются, то в точках касания совпадают не только координаты, но и наклоны (производные), потому что в точке контакта они имеют общую касательную прямую линию (и соответственно, общую нормаль тоже). Если касание происходит внутренним образом (как в нашем случае), то в точке касания кривизна охватывающей кривой (в данном случае гиперболы) меньше либо равна кривизне охватываемой кривой (в данном случае окружности). Чтобы найти направление общей касательной к окружности и гиперболе, продифференцируем уравнения 5 и 7:

8)   2y (dy/dz) = −d2(h − z) / (2h2).

9)   2y (dy/dz) = 2 (R − z).

Уравнения 8 и 9 позволяют получить наклон касательной. В предположении, что координата y не равна нулю, из этих уравнений следует:

10)   dy/dz = −d2(h − z) / (4yh2).

11)   dy/dz = (R − z)/y.

На самом деле как раз координата у может оказаться равной нулю. Дело в том, что y = 0 соответствует верхней точке гиперболы с максимальным значением z. И там тоже может иметь место касание, поэтому мы рассмотрим два возможных случая:

A) касание в двух симметричных точках с равными координатами z и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку координатами y.

B) касание в единственной точке — верхней точке гиперболы с координатой y = 0.

Уравнения 10 и 11 соответствуют случаю A, потому что содержат y в знаменателе.
В уравнениях 5 и 7 левые части равны, а значит, равны и правые части. Это позволяет исклчить координату z.

12)   d2(h − z)2 / (4h2) − l2/4 = 2Rz − z2.

Это уравнение можно упростить и привести к виду:

13)   d2h2 − 2d2hz + d2z2 − l2h2 = 8h2Rz − 4h2z2.

Это квадратное уравнение относительно координаты z, один из коэффициентов которого содержит неизвестный параметр R.

14)   (d2 + 4h2) z2 − 2h(d2 + 4Rh) z + h2(d2 − l2) = 0.

В уравнениях 10 и 11 левые части равны. Следовательно, равны и правые части. Получаем:

15)   −d2(h − z) / (4yh2) = (R − z) / y.

Можно умножить левую и правую части уравнения 15 на координату у:

16)   −d2(h − z) / (4h2) = R − z.

Из уравнения 16 можно найти координату z:

17)   z (d2 + 4h2) = h (d2 + 4Rh).

18)   z = h (d2 + 4Rh) / (d2 + 4h2).

Уравнение 18 следует подставить в уравнение 14. Это позволяет исключить координату z из уравнения 14:

19)   (d2 + 4h2) h2(d2 + 4Rh)2 / (d2 + 4h2)2 − 2h (d2 + 4Rh) h (d2 + 4Rh) / (d2 + 4h2) + h2(d2 − l2) = 0.

Это уравнение можно упростить:

20)   h2(d2 + 4Rh)2 / (d2 + 4h2) − 2h (d2 + 4Rh) h (d2 + 4Rh) / (d2 + 4h2) + h2(d2 − l2) = 0, или

21)   (d2 + 4Rh)2 = (d2 − l2)(d2 + 4h2).

Отсюда находим радиус цилиндра R:

22)   R = √[(d2 + 4h2) (d2 − l2)] / (4h) − d2 / (4h).

Это решение соответствует случаю А: касание гиперболы и окружности в двух точках. Не для любой длины цилиндра это решение подходит. Для короткого годится, а для длинного — нет. Представим себе цилиндр, длина которого приближается к диаметру основания конуса, — мы уже гворили, что это иголка на дне конуса. Ожидаемый результат — нулевой радиус, R = 0. Но из формулы при l = d получаем вообще нерелевантное отрицательное значение R = −d2 / (4h). Потому что решение для случая A (уравнение 22) применимо лишь для длины цилиндра l, не превышающей определенное значение. Мы позже выясним, какое именно. Если длина цилиндра больше этого значения, то имеет место случай B с касанием в единственной точке (верхней точке гиперболы, на ее оси симметрии), а для этого случая имеет место свое решение, с другой формулой для радиуса цилиндра R нежели в уравнении 22. А пока проверим (протестируем) наше решение для частного случая — цилиндра нулевой длины, то есть тонкого диска вписанного в конус. Торцевое сечение цилиндра в случае его нулевй длины совпадает с осевым сечением конуса. Гипербола вырождается и превращается в равнобедренный треугольник. Найдем раиус окружности вписанной в такой треугольник. Площадь треугольника S равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности, и она же равна половине произведения основания на высоту. Боковая сторона равнобедренного треугольника в осевом сечении конуса равна: √(h2 + d2/4). Получаем:

23)   S = [d/2 + √(h2 + d2/4)] × R = dh / 2, или

24)   R = dh / [d + √(d2 + 4h2)].

А теперь посмотрим, что получается из уравнения 22 при нулевой длине цилиндра:

25)   R = d √(d2 + 4h2) / (4h) − d2 / (4h) = d [√(d2 + 4h2) − d] / (4h).

Умножим числитель и знаменатель дроби на число сопряженное числителю,   √(d2 + 4h2) + d, и получаем как раз уравнение 24. Тест выполнен.

Теперь рассмотрим случай B. В этом случае касание гиперболы и окружности происходит в единственной точке - в верхней точке гиперболы на ее оси симметрии, и там координата y равна нулю, а производная dy/dz бесконечна, зато их произведение принимает вполне себе конечное значение, как в правых частях уравнений 8 и 9. Для y=0 из уравнений 5 и 7 следует

26)   d2(h − z)2 / (4h2) = l2/4

27)   2Rz = z2

В верхней точке гиперболы координата z не равна нулю, и из уравнения 27 следует

28)   z = 2R

Мы подставляем уравнение 28 в уравнение 26 и получаем

29)   d2(h − 2R)2 = h2 l2   или

30)   d(h − 2R) = h l

Отсюда находим радиус цилиндра для случая B,

31)   R = h (d − l)/(2 d)

Уравнение 31 - это решение для большой длины цилиндра, начиная с некоторого порогового значения, которое нам предстоит выяснить. Из решения видно, что когда длина цилиндра l приближается к диаметру d основания конуса, радиус цилиндра R уменьшается до нуля.

Таким образом, есть решение задачи, уравнение 22, применимое для случая А, когда длина цииндра в нижнем диапазоне, от нуля до некоторого порогового значения , и есть другое решение, уравнение 31, применимое для случая В, когда длина цилиндра выше порогового значения (но не больше, чем диаметр осования конуса, конечно). Нам осталось выяснить, чему равно это пороговое значение. Будем исходить из соображений о непрерывности решения. Тогда при некотором значении длины цилиндра обе формулы, 22 и 31, должны дать одинаковый результат. Это и будт то самое пороговое значение, которое мы ищем. Итак, приравниваем правые части уавнений 22 и 31,

32)   √[(d2 + 4h2)(d2 − l2)] / (4h) − d2 / (4 h) = h (d − l)/(2 d)   или

33)   √[(d2 + 4h2)(d2 − l2)] / (4h) = h (d − l)/(2 d) + d2 / (4 h)   или

34)   √[(d2 + 4h2)(d2 − l2)] = 2 h2 (d − l)/d + d2   или

35)   d √[(d2 + 4h2)(d2 − l2)] = 2 h2 (d − l) + d3.   Возведем обе части в квадрат

36)   d2(d2 + 4h2)(d2 − l2) = [2 h2 (d − l) + d3]2   Раскрываем скобки

37)   d6 + 4 h2d4 − d4l2 − 4h2d2l2 = 4h4d2 − 8h4dl + 4h4l2 + 4h2d4 − 4h2d3l + d6.   Упрощаем,

38)   − d4l2 − 4h2d2l2 = 4h4d2 − 8h4dl + 4h4l2 − 4h2d3l   или

39)   d4l2 + 4h2d2l2 + 4h4d2 − 8h4dl + 4h4l2 − 4h2d3l = 0,   а это полный квадрат суммы из трех слагаемых,

40)   (d2l − 2h2d + 2h2l)2 = 0   или

41)   l(d2 + 2h2) = 2h2d   или

42)   l = 2h2d/(d2 + 2h2)

При таком значении l можно пользоваться либо уравнением 22, либо уравнением 31, результат будет одинаков,

43)   R = (1/2) d2h/(d2 + 2h2)

Хотя решение этой задачи и не требует знаний, выходящих за рамки школьного курса, все-таки задача громоздкая. На мой взгяд, для экзамена не годится