| Астрофизический портал | |
|
Когда шарик и тело достигнут основания наклонной плоскости? (17 июня 2012)
evgesh25 - 17 июня, 2012 - 09:01
Посредине наклонной плоскости высотой H и углом наклона α = 30° лежит небольшое тело, коэффициент трения которого о плоскость 1/√3. В некоторый момент времени с вершины наклонной плоскости пускают с начальной нулевой скоростью шарик, масса которого равна массе тела. Через какие времена шарик и тело достигнут основания наклонной плоскости? Трением качения шарика пренебречь, удар шарика о тело считать абсолютно упругим.
Задача осталась у меня после олимпиады по физике во Владивостоке в конце 2011 года.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
Будет выглядеть так: mgH/2 = mv2/2, ⇒
v = √(gH).
Потом импульс: mv→ = mu→ + mw→,
где u→ — скорость тела, а w→ — cкорость шара.
И еще раз энергию: mv2/2 = mu2/2 + mw2/2,
и так несколько раз. Можно найти прогрессию. Найти путь для каждого соударения. И суммировать прогрессию и ровнять её на h / sin α. Найти n — число соударений. И с помощью этого найти время (опять по прогрессии).
t1 = v / (g sin α) = √(gh) / (g sin α) = [√(h/g)] 1 / sin α,
и t2, время, за которое тело достигнет основания (после столкновения):
t2 = h / (2 (sin α) √(gh)) = [√(h/g)] 1 / (2 sin α),
и это время два раза меньше, чем время, которое пройдет шарик до основания. Следовательно, время, за которое тело достигнет основания:
t = t1 + t2.
А время, за которое шарик достигнет основания, очевидно:
t' = 2t1.
так как удар абсолютно упругий, а тела имеют одинаковые массы, то после удара произойдет обмен импульсами, следовательно, шарик остановится, а тело начнет движение с начальной скоростью v = √{gH}, а так как оно покоилось, то движение будет происходить с торможением (сила трения превосходит проекцию силы тяжести на наклонную плоскость). А что шарик? Шарик начинает движение с половины высоты без начальной скорости вслед за телом. Ну и кто из них доберется до основания плоскости раньше?
Сила трения и проекция силы тяжести на ось, параллельную силе трения, равны.
Докажу. По определению, сила трения равна произведению реакции опоры на силу тяжести, то есть Fтр = μmg cos α.
Так как нам дан коэффициент трения и угол наклонной плоскости, то Fтр = mg / 2.
Сила тяжести в проекции на данную ось mgy = mg sin α = mg / 2.
Значит, начальная скорость, которую приобрело тело после удара с шариком, постоянна.
Так как sin α = h / (2S), то S = h / (2 sin α) = h.
По определению, S = vot.
В итоге, t = h / √(gh).
Насчёт движения шарика. Мне кажется, что, хоть он и движется с ускорением a = g/2, всё равно он только ударит тело, чем только увеличит его постоянную скорость.
Когда тело находится в покое на наклонной плоскости, то сила трения равна проекции силы тяжести:
Fтр = mg sin α.
Когда после взаимодействия тела с шариком тело получит импульс и придет в движение, то теперь, при скольжении, проявляется сила трения скольжения.
Fтр.ск = μmg cos α.
Так подобрали коэффициент трения, что тело находится на грани, но как себя тело будет вести после удара, как будет в впервый момент проявляться сила трения покоя, переходящая в скольжение?
Цитата: Насчёт движения шарика. Мне кажется, что, хоть он и движется с ускорением a = g/2, всё равно он только ударит тело, чем только увеличит его постоянную скорость.
Тело в начальный момент времени просто лежало, значит, постоянной скорости не было.