Максимальная скорость для спутника Земли (22 января 2010)

godzaimas - 22 января, 2010 - 20:42
Вокруг земли крутится спутник на высоте 4R (R — радиус Земли). В определенный момент он получает дополнительную скорость в направлении движения (по касательной). Какова максимальная скорость, которую можно добавить что бы спутник остался в притяжении Земли? Второй вопрос тот же, но скорость добавляют перпендикулярно движению спутника и в направлении от Земли.

Учебник на иврите для подготовки к аттестату зрелости за 12 класс.

Теги:

Комментарии

Опубликовано 22 января, 2010 - 20:49 пользователем godzaimas
В общем, я понимаю, что в первом пункте спутник останется на месте. Просто получит дополнительное угловое ускорение и за счет этого еще сильнее будет притягиваться к Земле и т. д. Но как написать это в формулах?

Кстати, дано только M и R Земли.

Опубликовано 23 января, 2010 - 19:14 пользователем AssemblerIA64
Не совсем. Скорость спутника определяет его орбиту. В самом начале орбита была круговая. Такой орбите соответствует скорость, равная I космической для этой высоты:

vI = √(GMз / (R + 4R)).

Спутник преодолеет притяжение Земли, если его скорость будет равна II космической (траектория движения — парабола):

vII = √(2GMз / (R + 4R)).

Поэтому для первого случая:

vI + vдоп = vII,

vдоп = (√2 − 1) √ (GMз / (5R)).

Во втором случае скорости сложатся по правилу параллелограмма:

v = √(vI2 + vдоп2).

Приравниваем новую скорость ко II космической:

√(vI2 + vдоп2) = √(2GMз / (R + 4R)),

vI2 + vдоп2 = 2GMз / (5R),

GMз / (5R) + vдоп2 = 2GMз / (5R),

vдоп = √(GMз / (5R)).

Опубликовано 24 января, 2010 - 13:01 пользователем godzaimas
Понял. Все оказалось намного проще. Но я пытался решить через сохранение энергии и ничего не выходило.

Начальная энергия:

mV12 / 2 − GmM / r.

После дополнительного импульса только кинетическая, т.к. Земля уже не действует:

mV22 / 2.

Сравниваем их и находим, что V2 = 0.

То есть он не двигается? Где ошибка?

Опубликовано 24 января, 2010 - 18:35 пользователем AssemblerIA64
Их нельзя приравнивать, т.к. полная механическая энергия спутника изменится за счёт работы двигателя.

N.B. Закон сохранения энергии как раз позволяет найти значение II космической скорости:

mv2 / 2 − GmM / r = 0 + 0,

причём первый ноль в правой части из-за того, что r = ∞, а второй — так как кинетическая энергия на границе сферы гравитационного влияния должна быть равна нулю (условие минимальности II космической скорости).