Чему равен коэффициент трения между бруском и плоскостью? (7 февраля 2016)

С наклонной плоскости без проскальзывания скатывается тонкостенная труба, наматывая на себя сверху лёгкую и тонкую верёвку, которую можно считать нерастяжимой. Свободный конец верёвки прикреплён к бруску, лежащему на плоскости выше трубы. Масса трубы M, масса бруска M/2. Ось трубы горизонтальна, свободный участок верёвки параллелен наклонной плоскости и перпендикулярен оси трубы. Плоскость составляет с горизонтом угол α = 30°. Ускорение, с которым поступательно движется брусок вслед за трубой, равно 0,3g. Чему равен коэффициент трения между бруском и плоскостью?

Источник: задача 8 (МФО, 2015, 11), mathus.ru/phys/vratela.pdf

Георгий, здравствуйте. В этой задаче ключевой момент — это соотношение между ускорениями цилиндра и бруска. Точка тонкостенного цилиндра (линия), соприкасающаяся с плоскостью, имеет нулевую скорость, иначе было бы проскальзывание. Соответственно, мгновенная скорось всех точек цилиндра пропорциональна расстоянию до этой линии. Тогда точка контакта нити с цилиндром имеет скорость, в два раза превышающую скорость центра цилиндра. Там тоже нет проскальзывания, и скорость нити такая же, как в этой точке цилиндра, то есть вдвое больше, чем у центра (оси) цилиндра. Нить не растягивается, поэтому вся она (кроме той части, которая уже намоталась) имеет такую скорость. А значит, и брусок тоже. Вывод: скорость бруска вдвое выше скорости цилиндра, если под скоростью цилиндра понимать скорость его центра (оси). Если это уравнение продифференцировать, то мы увидим, что между ускорениями такое же соотношение: брусок ускоряется вдвойне. Таким образом, в задаче заданы оба ускорения: и цилиндра, и бруска.

Можно составить три уравнения движения: поступательного для цилиндра и бруска, и вращательного для цилиндра. Неизвестных тоже три: это сила натяжения нити T, сила сцепления цилиндра с плоскостью S и коэффициент трения скольжения μ. Пусть а — ускорение цилиндра, — ускорение бруска.

Уравнение движения бруска:

(M/2) 2a = (M/2) g sin α − μ (M/2) g cos α + T.

Уравнение движения цилиндра:

Ma = Mg sin α − S − T.

Уравнение вращения цилиндра:

Jβ = (S − T) R,

где β = a/R — угловое ускорение, и J = MR2 — момент инерции тонкостенной трубы.

Уравнение вращения цилиндра цилиндра упрощается до Ma = S − T.

Решая его совместно с уравнением поступательного движения цилиндра, исключаем силу сцепления, S = (1/2) Mg sin α.

Теперь у нас два уравнения для поступательных движений двух тел:

Ma = (M/2) g sin α − μ (M/2) g cos α + T.

Ma = (1/2) Mg sin α − T.

Если сила натяжения нити T нас не интересует (ее потом можно найти, если спросят), то уравнения можно просто сложить,

2Ma = Mg sin α − μ (M/2) g cos α.

Масса цилиндра сокращается:

4a = 2g sin α − μg cos α,

отсюда μ = 2 (g sin α − 2 a) / (g cos α), или

μ = 2 tg α − 4 (a/g) / cos α.

Ускорение бруска 0.3g, соответственно, для цилиндра a = 0.15g, или a/g = 0.15, получаем:

μ = 2 tg 30° − 4 × 0.15 / cos 30° = 2 (√3) /3 − 0.6 × 2 / √3 = (2 √3 − 1.2 √3) / 3 = 0.8 (√3) / 3 = 4 (√3) / 15 = 0.462.

Игорь, спасибо! Оказывается, почти все делал правильно, но невнимательно прочитал условие. У меня брусок лежал на горизонтальной плоскости сверху. Все-таки в конце недели не следует браться за решение задач повышенной сложности. На самом деле можно часть рассуждение выполнить немного проще: можно рассмотреть вращение цилиндра вокруг точки касания с плоскостью. Тогда:

J dw/dt = RMg sin ? − 2RT,

где w — угловая скорость вращения относительно точки касания плоскости.

Момент инерции J вычисляем по известной теореме J = MR2 + MR2, где первое слагаемое — момент инерции относительно центра масс, а второе — квадрат расстояния от нашей точки вращения до центра масс, умноженный на массу всего тела (в данном случае совпадают).

Но w = V / (2R), причем dV / dt = a.

Тогда получаем уравнение мгновенного вращения цилиндра:

2MRRa / (2R) = RMg sin ? − 2RT.

И после упрощения:

Ma = Mg sin ? − 2T.

В последнем уравнении все символы имеют то же значение, что и у Вас в решении. У Вас (и у меня при рассмотрении вращения вокруг центра масс) получилась система:

Ma = Mg sin ? − S − T.

Ma = S − T.

Если сложить первое и второе уравнения системы, получим такое же уравнение.

Еще раз спасибо и извините за мою невнимательность в понимании условия!

Георгий, я согласен. В Вашем подходе есть некоторое преимущество, поскольку позволяет сразу исключить силу сцепления цилиндра с плоскостью — относительно точки касания у этой силы нулевой момент, а уравнение поступательного движения цилиндра вообще не понадобится, потому что относительно точки касания он только вращается — с другим, пересчитанным моментом инерции.