Найти (без интегрирования) время, за которое вытечет вода из сосуда (2 ноября 2015)

Имеется заполненный сосуд объемом V с радиусом R дна сосуда и отверстием радиуса r на дне сосуда. Найти время, за которое вытечет вся вода.

Источник: школьная олимпиада в 11 классе, 1995 год.

Вопрос: можно ли решить задачу, не прибегая к интегрированию? Тогда не решил, а сейчас загорелось.

Решение:

t = V/q,

где q = sv,

v = √(2gh),

т.е. v зависит от h1/2.

Можно ли при решении заменить функцию v (h) на среднее значение скорости истечения (как в задачах про цепочку, свисающую со стола)? Если отталкиваться от конечного результата, то vсреднее = 0.5 √(2gH) — как это объяснить?

Задача классическая на применение элементов математического анализа. Рационально её решать, конечно же, интегрированием.

Скорость жидкости зависит от формы и размера отверстия, от вязкости жидкости и режима течения. Поэтому формула Торричелли часто записывается с дополнительным множителем φ:

v = φ√(2gh).

Значения параметра φ для отверстий различной формы и размера можно найти в гидравлических справочниках.

Спасибо за ответ. Но сама задача поставлена иначе: как решить без интегрирования. Например, ещё одна классическая задача на интегрирование — цепь (веревка) свисает со стола на длину l и т.д. Для этой задачи есть решение без применения интегрирования. Можно ли аналогично решить задачу для жидкости?