Почему сила тока изменяется по ветви параболы? (30 июня 2013)

к задаче к задаче

Сначала, до замыкания ключа, сила тока была равна I1.

Очевидно, что после замыканию ключа I2 = 2I1.

Внимание, вопрос: почему сила тока изменяется по ветви параболы с I1 до I2 ?


Источник задачи: ЕГЭ 2013, задание части C.

Комментарии

В принципе, у меня есть идея, однако она мне не нравится — не очень я в ней уверен.

LI22 / 2 = 4ε2t / R.

I2 = ε√(8t/RL).

Значит, на промежутке с I1 по I2 уравнение силы тока будет иметь вид:

i (t) = I1 + ε√(8t/RL).

А какую роль играет катушка в цепи?
Накопитель энергии?
Ток же будет не по параболе изменяться.

ε = Ldi/dt + iR/2.

После интегрирования получаем:

i = I2 + (I1 − I2) exp(−Rt/2L).

ε — электродвижущая сила.

Выходит, что условие задачи некорректно.

То, что ток не будет возрастать по параболе, видно и из того, что ток ограничен значением I2. В случае параболы он рос бы до бесконечности.

Катушка зачем (если не рассматривать ее как "накопитель" энергии)?
Индуктивность всегда в цепи есть, иногда больше, иногда меньше. Зачем? Вопрос философский. Мешает же иногда, вот и здесь ток из-за неё не мгновенно меняется. Не было б её (L = 0), ток бы сразу стал I2, как только ключ замкнули.
А явление самоиндукции?

А что такое сопротивление электрическому току в цепи?

А как меняется ток при резком изменении сопротивления цепи (без катушки)?

А инерция движения электрических зарядов?

Явление самоиндукции — прекрасное явление. При резком изменении сопротивления цепи (без катушки) ток меняется быстро :) (по формуле, которую написал). Инерция движения электрических зарядов — очень полезная инерция :)

Вы почётче сформулируйте, пожалуйста, что Вас смущает или в чём непонимание. Повторюсь, индуктивность в цепи есть и без катушки.

Для начала интересует качественная сторона вопроса, а уже потом − количественное описание.
Можете поконкретнее написать, как Вы проинтегрировали ЭДС полной цепи?
Смогу, если объясните мне, как вставлять значок интеграла. Никак не могу разобраться.

И ещё, я так и не понял, как писать букву эпсилон (электродвижущую силу). Объясните, пожалуйста, если нетрудно.

В. Грабцевич, если бы в цепи не было катушки, то всю цепь можно рассматривать как один виток катушки. С изменением тока поток магнитного поля через этот виток меняется, и поэтому возникает электрическое поле, направленное в сторону против изменения тока, то есть если ток растёт, то против тока, а если уменьшается, то по току.

ε = Ldi/dt + iR/2.

εdt = Ldi + (iR/2) dt.

(ε − iR/2) dt = Ldi.

Умножаю обе части уравнения на R / (2L):

R (ε − iR/2) dt / (2L) = d (iR/2).

Rdt / (2L) = −d (ε − iR/2) / (ε − iR/2).

Левую часть интегрирую в пределах от 0 до t, а правую — от I1 до i.

Получаю:

Rt / (2L) = −ln [(ε − iR/2) / (ε − I1R/2)].

ε − iR/2 = (ε − I1R/2) exp[−Rt / (2L)].

Так как 2ε / R = I2, то:

I2 − i = (I2 − I1) exp[−Rt / (2L)].

i = I2 + (I1 − I2) exp[−Rt / (2L)].

andrei, вставлять код (точно так, как выделено жирным, с точкой и запятой в конце):

  • эпсилон ε —   ε
  • интеграл ∫ —   ∫
andrei, а разве провода не идеальные (R = 0)? Что Вы понимаете тогда под одним витком катушки?
afportal, спасибо.
В. Грабцевич, не важно же, хоть идеальные, хоть — нет. Чтоб понять, откуда в цепи без катушки берётся индуктивность, можно просто всю эту цепь рассматривать как один виток катушки. Я правильно понял Ваш вопрос? Или Вы что-то другое имели в виду?


Или Вы говорите не про реальные цепи, а про то, что если из цепи в этой задаче убрать индуктивность (катушку), то как тогда себя будет ток вести после замыкания ключа? Тогда по условию индуктивность будет равна нулю и ток изменится мгновенно.

andrei: Тогда по условию индуктивность будет равно нулю и ток изменится мгновенно.

В школьной физике в задачах с цепями считают идеальными провода (если иное не оговорено в условии).

Считать одним витком всю цепь (при отсутствии катушки) нельзя (при условии идеальности проводов).

Для того и вводится катушка, чтобы изменение тока вследствие самоиндукции было не мгновенным.

В конечном итоге в цепи установится постоянный ток I2 ?

Хотелось бы взглянуть на полное условие приведенной задачи.

В. Грабцевич: В конечном итоге в цепи установится постоянный ток I2 ?
Да. Но если подходить строго формально, то ток вырастет до значения I2 через бесконечно большое время :)


В. Грабцевич: Считать одним витком всю цепь (при отсутствии катушки) нельзя (при условии идеальности проводов).

Да, понятно, что если в условии задачи катушки нет, то это означает, что индуктивность цепи равна нулю, по условию. Я думал, что Вы спрашиваете, откуда в реальных цепях индуктивность, и как там изменяется ток.

Дело здесь не в идеальности проводов (если под идеальностью Вы понимаете R = 0, как написали), а просто в соглашении: если в цепи не нарисована катушка, то считать индуктивность цепи по условию равной 0. Ведь активное сопротивление не влияет на индуктивность цепи. Верно?

Elitmango, приведите полное условие задачи (или дайте ссылку).
Я не помню полное условие задачи, ссылку не знаю.

А почему andrei не прав?

Его конечное уравнение для силы тока соответствует графику.

Я ошибся, назвав сходу эту кривую веткой параболы, это же показательная функция.

Мне кажется, что в ЕГЭ задача-то была качественная. Не требовалось искать уравнение тока от времени. Нужно было качественно пояснить и дать ответ I2 = 2I1.

Качественно объяснить можно и без решения простого дифференциального уравнения, без интегрирования.

Можно просто записать второе правило Кирхгофа: LΔI/Δt + IR/2 = ε, откуда видно, что чем больше ток, тем меньше ΔI/Δt, т.е. чем больше ток, тем медленнее он растет. Это и отражено на рисунке.

Elitmango задает вопрос к задаче, точного условия которой он не помнит:

Внимание, вопрос: почему сила тока изменяется по ветви параболы с I1 до I2?

andrei приводит количественное описание процесса, указав, что изменение тока происходит по экспоненте.

Зная школьную программу, точно знаю, что количественное описание такого процесса возможно только на физмате.

И, как писалось выше, вначале качественное понимание процесса (это для всех обязательно), а уже потом количественное (если сможете).

Согласен с inkerman, на ЕГЭ (да и ЦТ) важно качественное понимание и объяснение процесса.

Важно не только качественное понимание процесса, но и его описание уравнениями, раз мы уже влезли в эту задачу. Разумеется, у этого уравнения только одно решение — экспонента. И не на физмате только возможно точное описание процесса, а в любом самом отстойном техническом ВУЗе. Это несложное уравнение (проще даже, чем дифференциальное уравнение колебаний), его можно школьникам объяснить. Тогда зачем детей путать несуществующей параболой? Кстати, не только из решения уравнения, но и из физики процесса следует, что это будет функция, асимптотически (через бесконечное время) приближающаяся к установившемуся статическому значению тока, то есть никак не парабола. На мой взгляд, начинать решение надо с комментария о том, что это не парабола, и параболой не может быть в принципе. Аппроксимировать экспоненту параболой тоже нет нужды.
Надоело разбираться?