Задача 7: путь лодки до остановки

Лодку массой m, стоящую в спокойной воде, толкнули со скоростью vo. Какой путь пройдет она до того, как остановится, если сила сопротивления движению пропорциональна скорости: F = αv?



Решение:

В любой момент движения ускорение лодки, согласно второму закону Ньютона, равно:
a = −αv,
m
где v — скорость лодки в этот момент. Это пример движения с переменным ускорением (чем меньше скорость, тем медленнее она уменьшается), при котором в случае идеального выполнения условий задачи лодка будет двигаться бесконечно долго (хотя и очень медленно в конце). Из этого, правда, не следует, что тормозной путь будет бесконечным. Как же его найти? Умножим обе части предыдущего уравнения на небольшой промежуток времени Δt, за который изменениями v и a можно пренебречь:
aΔt = −αvΔt.
m
Теперь заметим, что aΔt — это приращение скорости Δv за время Δt, a vΔt — приращение пути Δl за это же время. Так как момент времени был выбран совершенно произвольно, можно сделать вывод, что для того, чтобы скорость изменилась на Δv, лодка должна пройти путь:
Δl = mΔv.
α
(минус в выражении объясняется тем, что Δv отрицательно). Из условия ясно, что за достаточно большое время скорость лодки уменьшается от начального значения vo практически до нуля. Тогда весь пройденный путь равен:
l = mvo.
α


[тема: задачи на движение с сопротивлением]