Школьник заметил, что сферический пузырёк воздуха диаметром d1 = 1 мм всплывает в жидкости плотностью ρж = 1 г/см3 со скоростью v1 = 0,5 см/с. Пузырёк диаметром d2 = 2 мм всплывает со скоростью v2 = 2 см/с, а сферическая металлическая дробинка такого же диаметра плотностью ρ = 5 г/см3 тонет со скоростью v3 = 8 см/с. С какой скоростью будет всплывать в этой жидкости пластмассовый шарик плотностью ρ = (2/3) г/см3 и диаметром d = 3 мм? Считайте, что характер зависимости сил сопротивления движению от скорости и диаметра шарика — степенной, и для всех указанных тел одинаков.
Решение:
При движении шарика в жидкости на него действуют сила тяжести
Fm, направленная вниз, сила Архимеда
FA, направленная вверх, и сила вязкого трения
Fmp, зависящая, как это следует из условия задачи, от скорости и от диаметра шарика. Две первые силы являются объёмными. Это значит, что их разность пропорциональна разности
ρ − ρж (ρ — плотность шарика) и объёму шарика, то есть кубу его диаметра
d:
Здесь
A — коэффициент пропорциональности. Предположим, что сила вязкого трения зависит от диаметра шарика
d и его скорости
v следующим образом:
где
B — коэффициент пропорциональности,
n и
m — неизвестные показатели степени. При движении с постоянной скоростью разность сил тяжести и Архимеда равна по величине силе вязкого трения. Тогда для пузырька диаметром
d1 имеем:
откуда:
Аналогично с учётом условия задачи для пузырька диаметром
d2 получаем:
откуда следует уравнение:
Далее, для дробинки диаметром
d2, учитывая, что
v3 = 4v2 и
ρд = 5ρж, получаем:
откуда находим, что
m = 1. Зная
m, определяем, что и
n = 1. Значит, зависимость
Fтр(d,v) имеет следующий вид:
Теперь можно найти скорость
u, с которой будет всплывать пластмассовый шарик. Учитывая, что его плотность равна
(2/3)ρж , получаем:
Далее: шарик падает в жидкости [тема: задачи на движение с сопротивлением]