Задача 2: лодка с одним и двумя моторами движется по реке

Из (А) в (Б) можно добраться только на моторной лодке по узкой реке, скорость течения которой всюду одинакова. Лодке с одним подвесным мотором на путь из A в Б требуется время t₁ = 50 минут, а с двумя моторами — время t₂ = t₁/2. Сила тяги двух моторов вдвое больше силы тяги одного. За какое минимальное время можно добраться из Б в А на лодке с одним и с двумя моторами? Известно, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения относительно воды.

Решение:

Обозначим расстояние от A до Б через S, а скорость течения реки — через u. Скорость движения лодки с одним мотором относительно воды обозначим через v. Поскольку при установке на лодку двух моторов сила тяги вырастает вдвое, а сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения лодки относительно воды, то скорость движения лодки с двумя моторами относительно воды равна √2 • v.

Из условия задачи не известно, какой из населённых пунктов — А или Б — находится выше по течению реки. Поэтому нужно проверить два варианта:

1) A находится выше по течению;
2) Б находится выше по течению.

Для первого варианта имеем уравнения:

S	= t1,	S	= t2 =	t1	.     (1)
u + v		u + √2 • v		2

Для второго варианта:

S	= t1,	S	= t2 =	t1	.     (2)
v − u		√2 • v − u		2

Для варианта (1), разделив одно уравнение на другое, получим:

u + √2 • v	= 2,
u + v

откуда:

u	= √2 − 2   < 0.
v

Так как u и v положительны, то отсюда следует, что система (1) не имеет решения. Значит, (A) находится ниже по течению, чем (Б). Из системы (2), поделив уравнения друг на друга, получаем:

u	= 2 − √2.
v

Чтобы найти время движения из Б в A на лодке с одним или двумя моторами, нужно вычислить величины:

t3 =	S	,  t4 =	S	.     (3)
	u + v		u + √2 • v

Выражая из (2) S через t₁ и подставляя в (3), получаем:

t3 =	1 − u/v	• t1 =	√2 − 1	• t1 ≈ 13,6 мин,
	1 + u/v		3 − √2

это время движения с 1 мотором.

t4 =	1 − u/v	• t1 =	√2 − 1	• t1 ≈ 10,35 мин,
	√2 + u/v		2

— время движения с 2 моторами.

Далее: шарики в воде   [тема: задачи на движение с сопротивлением]

---