Задача 7: заряженное кольцо из проволоки увеличили в 3 раза

Кольцо из тонкой проволоки разрывается, если его зарядить зарядом Q. Диаметр кольца и диаметр проволоки увеличили в три раза. При каком заряде будет разрываться это новое кольцо?

(Задача из журнала "Квант", Ф258).

Решение:

Под действием электрических сил электрического отталкивания кольцо деформируется, и в любом месте кольца результирующая сила упругости равна силе электрического взаимодействия выбранного элементарного участка со всем остальным кольцом:

Fэл = Fупр.

Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами Q₁ и Q₂ находящимися на расстоянии r друг от друга, согласно закону Кулона равна:

F1 =	1	•	Q1Q2	.
	4πεo		r2

Это, очевидно, единственная комбинация из Q₁, Q₂ и r, имеющая размерность силы. Поэтому электрическая сила в кольце должна быть пропорциональна:

Q2	,
R2

(R — радиус кольца):

Fэл = α	Q2	,
	R2

где α — коэффициент пропорциональности.
В момент разрыва сила упругости, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения проволоки, равна пределу прочности σ, который зависит только от материала проволоки, поэтому:

Fупр = σS,

где S — площадь поперечного сечения проволоки.
Таким образом:

α	Q2	= σS.       (1)
	R2

Если кольцо, имеющее втрое больший радиус и втрое больший диаметр проволоки, разрывается при заряде Q₁, то в этом случае:

α	Q12	= σS1.
	(3R)2

Так как S ~ d² и S₁ ~ d₁² (d и d₁ — диаметры проволоки), то S₁ = 9S, и поэтому:

α	Q12	= σ • 9S.       (2)
	9R2

Тогда из равенств (1) и (2) получаем:

Q1 = 9Q.

Далее: смена зарядов в двух сферах   [тема: «нестандартные» задачи по электростатике]

---