«
Смеситель». Водопроводный смеситель холодной (
T1 = 10 °С) и горячей (
T2 = 70 °С) воды состоит из двух одинаковых труб
AB и
CB, переходящих в удлинитель
BD (рис.). Краны
K1 и
К2 регулируют расход
q (т.е. объем воды, проходящий через трубу в единицу времени) и температуру
T воды, выходящей из смесителя.
Опыт показывает, что расход воды через трубу AB (или CB) пропорционален разности гидростатических давлений pA и pB на ее концах q = αC(pA − pB), где α — некоторый безразмерный коэффициент «открытия крана», принимающий значение от нуля (кран закрыт) до единицы (кран полностью открыт), а C — некоторый постоянный размерный коэффициент для данной трубы.
Расход воды через удлинитель BD также пропорционален разности давлений жидкости на его концах q = αC(pA − pB) , где po – нормальное атмосферное давление на выходе из трубы в точке D (см. рис.).
Давления в магистралях холодной p1 = pA = 3,0 атм. и горячей p2 = pС = 2,6 атм. труб поддерживаются постоянными. Воду будем считать несжимаемой жидкостью, а потери теплоты при прохождении смесителя — пренебрежимо малыми. Если полностью открыть (α1 =1,0) кран холодной воды при полностью закрытом кране горячей воды, то расход воды будет равен q1 = 1,4 л/с.
- Вычислите значение коэффициента C и укажите его размерность.
- Найдите расход q2 воды при полном открытии крана с горячей водой (при закрытом втором кране).
- Вычислите расход воды q3 и ее температуру T3 в случае, когда два крана открыть полностью (α1 = α2 =1,0).
- Найдите расход воды q4 и ее температуру T4, в случае, когда один кран холодной воды открыт на α1 = 0,30, а кран горячей — на α2 = 0,70.
- В «час пик» при большом количестве пользователей давление p2 в магистрали горячей воды может значительно упасть. При каком давлении pmin подача горячей воды в смеситель полностью прекратится, если кран холодной воды открыт на α1 = 0,30, а кран горячей — на α2 = 0,70?
Решение:
1) Для вычисления значения C рассмотрим процесс вытекания холодной воды при полностью открытом кране. При течении несжимаемой жидкости ее расход для обеих трубок должен быть один и тот же qAB = qBD. Это будет возможно в том случае, если в точке B трубки установится некоторое «самосогласованное» давление pB, обеспечивающее прокачку соответствующего потока жидкости через каждую из трубок. Математически можем записать это условие в виде системы уравнений:
Из (1) находим:
Соответственно, для расхода воды в этом случае получим:
Подставим численные значения:
2) При полном открытии крана с горячей водой можно повторить рассуждения предыдущего пункта с той лишь разницей, что давление в магистрали равно pC:
и
Тогда расход горячей воды:
3) При полном открытия двух кранов в точке B системы должно установиться давление pB, «обеспечивающее» прокачку через удлинитель BD суммарного потока q3, образованного слиянием двух (холодного q1 и горячего q2) потоков из труб AB и CB. Соответственно, в этом случае справедлива система уравнений (3):
Решение системы уравнений (3) дает следующие результаты:
Расход холодной воды:
расход горячей воды, соответственно, равен:
Общий расход воды:
Как видим из полученных результатов, расход горячей воды почти в два раза меньше расхода холодной воды. Это приводит к своеобразному эффекту «закупоривания» трубы с горячей водой и, соответственно, падению ее расхода. С этой точки зрения можно заметить, что сильный перепад давлений в магистралях не желателен. Поскольку в смесителе потери теплоты практически отсутствуют (жидкости протекают через него достаточно быстро), то из уравнения теплового баланса получим:
где
T — искомая температура на выходе из смесителя,
c — удельная теплоемкость воды.
Т. к. вода практически несжимаема, то можно считать, что ее плотность ρ в обеих магистралях одинакова. В этом случае:
и
тогда:
и
4) При различном открывании кранов система уравнений (4) примет вид:
Соответственно, ее решение даст следующие результаты:
Расход холодной воды:
Температуру воды на выходе из смесителей найдем с помощью выражения:
Примечание: если в качестве предельного перехода положить α1 = α2 = 1, то получим результат в задании 3).
Таким образом, с помощью кранов мы можем регулировать температуру воды от полностью холодной (T1 = 10 °C, α1 = 1,0, α2 = 0,0) до полностью горячей (T2 = 70 °C, α1 = 0,0, α2 = 1,0)
5) Интересно, что при некоторых давлениях pA и pB в магистралях и коэффициентах α1 и α2 поток горячей воды может обратиться в нуль. При этом в кран с горячей водой будет «закачиваться» холодная вода, поскольку давление там меньше. Так, иногда, принимая душ, можно почувствовать, что вода стала прохладнее после того, как в соседней кабинке кто-то откроет кран с горячей водой. Для вычисления минимального давления приравняем к нулю расход горячей воды:
здесь сделана замена:
Решим это уравнение:
и
Интересно, что эффект «побочной тяги» не зависит от коэффициента
α2 открытия крана с горячей водой. Это вполне можно понять, поскольку независимо от размера отверстия сплошная среда (жидкость или газ) всегда устремляется в область пониженного давления.
[тема: многоступенчатые задачи]
Комментарии
где V = √(2gh),
где h = p/?, а не ?C (pA − pB),
смотрите решение задачи Как рассчитать давление воды в водопроводном кране? (18 октября 2008), у меня пока нет времени выполнить расчёты. Но, может, найдётся кто-либо заинтересованный да и проверит. И не только аналитически, но и с манометром.
В. Маркуц, 6.12.2012 0:04.